déduit que f est bijective si p 0.
Comme on ne sait pas résoudre en x l’équation x
3 + px = y, il n’y a pas de formule
générale pour exprimer f
−1 (y).
Dans le cas p < 0, la fonction est décroissante sur [
−p/3,
−p/3] et croissante
ailleurs, donc f n’est pas bijective.
La pente de la tangente à l’origine est toujours p.
4)
x
y
1
graphe de x → h(x)
Montrons que la fonction h :]0, +∞[ → R définie par h(x) = x− 1
x
est bijective. Nous devons vérifier que pour tout nombre réel y,
l’équation x− 1
x
= y a exactement une solution x dans
l’intervalle ]0, +∞[. L’équation s’écrit x
2
− 1 = yx ou encore x
2
− yx − 1 = 0, et les deux racines sont y ±
y 2 + 4.
Il y a une seule racine appartenant à l’ensemble de départ
]0, +∞[, c’est y +
y 2 + 4. Donc h est bien une bijection et la bijection réciproque est définie par la formule
h
−1 (y) = y +
y 2 + 4, pour tout y ∈ R.
3.4 Changement de référentiel
Soit f : E → E une transformation d’un ensemble E . Supposons qu’on dispose d’un
ensemble E
et d’une bijection u : E → E
.
Pour tout élément x ∈ E , posons x
= u(x). On a donc x = u
−1 (x
).
Si x et y sont des éléments de E , la relation y = f (x) définit entre les éléments
x
= u(x) et y
= u(y) une relation de la forme y
= f
(x
) : précisément, nous avons
y
= u(y) = u
f (x)
= u ◦ f (x) = u ◦ f
u
−1 (x
)
, pour tout x
∈ E
.
En posant f
= u ◦ f ◦ u
−1 : E
→ E
, on a ainsi l’équivalence
y = f (x) ⇐⇒ y
= f
(x
) .
Définition
Nous dirons que la bijection u : E → E
est un changement de référentiel ou un
changement de coordonnées et que la transformation f
= u ◦ f ◦ u
−1 : E
→ E
est
transportée de f par le changement de référentiel u.
E
u
f
/ / E
u
E
f
/ / E
x _
u
f / / y _
u
x
f
/ / y
Par un changement de référentiel convenable, la transformation f
peut être plus
simple à étudier que la transformation f . Voici des propriétés générales d’un changement de référentiel.
24 – LES FONCTIONS
Comme on ne sait pas résoudre en x l’équation x
3 + px = y, il n’y a pas de formule
générale pour exprimer f
−1 (y).
Dans le cas p < 0, la fonction est décroissante sur [
−p/3,
−p/3] et croissante
ailleurs, donc f n’est pas bijective.
La pente de la tangente à l’origine est toujours p.
4)
x
y
1
graphe de x → h(x)
Montrons que la fonction h :]0, +∞[ → R définie par h(x) = x− 1
x
est bijective. Nous devons vérifier que pour tout nombre réel y,
l’équation x− 1
x
= y a exactement une solution x dans
l’intervalle ]0, +∞[. L’équation s’écrit x
2
− 1 = yx ou encore x
2
− yx − 1 = 0, et les deux racines sont y ±
y 2 + 4.
Il y a une seule racine appartenant à l’ensemble de départ
]0, +∞[, c’est y +
y 2 + 4. Donc h est bien une bijection et la bijection réciproque est définie par la formule
h
−1 (y) = y +
y 2 + 4, pour tout y ∈ R.
3.4 Changement de référentiel
Soit f : E → E une transformation d’un ensemble E . Supposons qu’on dispose d’un
ensemble E
et d’une bijection u : E → E
.
Pour tout élément x ∈ E , posons x
= u(x). On a donc x = u
−1 (x
).
Si x et y sont des éléments de E , la relation y = f (x) définit entre les éléments
x
= u(x) et y
= u(y) une relation de la forme y
= f
(x
) : précisément, nous avons
y
= u(y) = u
f (x)
= u ◦ f (x) = u ◦ f
u
−1 (x
)
, pour tout x
∈ E
.
En posant f
= u ◦ f ◦ u
−1 : E
→ E
, on a ainsi l’équivalence
y = f (x) ⇐⇒ y
= f
(x
) .
Définition
Nous dirons que la bijection u : E → E
est un changement de référentiel ou un
changement de coordonnées et que la transformation f
= u ◦ f ◦ u
−1 : E
→ E
est
transportée de f par le changement de référentiel u.
E
u
f
/ / E
u
E
f
/ / E
x _
u
f / / y _
u
x
f
/ / y
Par un changement de référentiel convenable, la transformation f
peut être plus
simple à étudier que la transformation f . Voici des propriétés générales d’un changement de référentiel.
24 – LES FONCTIONS