Les deux propriétés caractéristiques d’une bijection f : E → F sont donc :
i) si x et x
sont des éléments de E tels que f (x) = f (x
), alors x = x
;
ii) tout élément de F s’écrit f (x) pour un certain élément x ∈ E .
Supposons que l’application f : E → F est bijective. À tout élément y ∈ F , associons l’unique antécédent de y : on définit ainsi une application de F vers E notée
f
−1 : F → E .
Définition
Si f : E → F est une bijection, l’application de F vers E qui à tout y ∈ F associe
f
−1 (y) s’appelle la bijection réciproque de f et se note f
−1 : F → E .
Si f est une bijection, alors par définition,
pour tout y ∈ F , on a f
f
−1 (y)
= y ,
et puisque tout élément x ∈ E est antécédent de f (x), on a
pour tout x ∈ E , f
−1
f (x)
= x.
On en déduit que si f est une bijection, alors l’application f
−1 est bijective et la
bijection réciproque de f
−1 est f .
Définition
Si E est un ensemble, l’application identité de E est la transformation de E qui à
tout x ∈ E associe x lui-même. On note id E l’application identité de E .
Par définition, si l’on compose une bijection f et sa bijection réciproque, on obtient
l’identité ; précisément, si f : E → F est une bijection, alors on a
f
−1
◦ f = id E : E
f
/ / F
f
−1 / / E et f ◦ f
−1 = id F : F
f
−1 / / E
f
/ / F
Exemples
1) La fonction sinus définit une bijection [−π/2,π/2] → [−1,1] (exemples (2) et (3) page
20). De même, pour tout nombre y ∈ [−1, 1], il existe un unique nombre x ∈ [0, π]
tel que cos x = y. La fonction cosinus définit donc une bijection [0, π] → [−1, 1].
2) La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives et définit une
bijection exp : R → ]0, +∞[. La bijection réciproque est par définition la fonction
logarithme ln :]0, +∞[ → R, de sorte que l’on a ln = exp
−1 et exp = ln
−1 .
3)
p < 0
p 0
p < 0
=
x
x
x
y
y
y
Soient p un nombre réel et la fonction
f :R→R définie par f (x)=x
3 +px. La
dérivée est 3x
2 + p, donc f est strictement croissante si p 0 ; de plus,
f (x) tend vers +∞ quand x tend
vers +∞, vers −∞ quand x tend
vers −∞ et f est continue. On en
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 23
i) si x et x
sont des éléments de E tels que f (x) = f (x
), alors x = x
;
ii) tout élément de F s’écrit f (x) pour un certain élément x ∈ E .
Supposons que l’application f : E → F est bijective. À tout élément y ∈ F , associons l’unique antécédent de y : on définit ainsi une application de F vers E notée
f
−1 : F → E .
Définition
Si f : E → F est une bijection, l’application de F vers E qui à tout y ∈ F associe
f
−1 (y) s’appelle la bijection réciproque de f et se note f
−1 : F → E .
Si f est une bijection, alors par définition,
pour tout y ∈ F , on a f
f
−1 (y)
= y ,
et puisque tout élément x ∈ E est antécédent de f (x), on a
pour tout x ∈ E , f
−1
f (x)
= x.
On en déduit que si f est une bijection, alors l’application f
−1 est bijective et la
bijection réciproque de f
−1 est f .
Définition
Si E est un ensemble, l’application identité de E est la transformation de E qui à
tout x ∈ E associe x lui-même. On note id E l’application identité de E .
Par définition, si l’on compose une bijection f et sa bijection réciproque, on obtient
l’identité ; précisément, si f : E → F est une bijection, alors on a
f
−1
◦ f = id E : E
f
/ / F
f
−1 / / E et f ◦ f
−1 = id F : F
f
−1 / / E
f
/ / F
Exemples
1) La fonction sinus définit une bijection [−π/2,π/2] → [−1,1] (exemples (2) et (3) page
20). De même, pour tout nombre y ∈ [−1, 1], il existe un unique nombre x ∈ [0, π]
tel que cos x = y. La fonction cosinus définit donc une bijection [0, π] → [−1, 1].
2) La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives et définit une
bijection exp : R → ]0, +∞[. La bijection réciproque est par définition la fonction
logarithme ln :]0, +∞[ → R, de sorte que l’on a ln = exp
−1 et exp = ln
−1 .
3)
p < 0
p 0
p < 0
=
x
x
x
y
y
y
Soient p un nombre réel et la fonction
f :R→R définie par f (x)=x
3 +px. La
dérivée est 3x
2 + p, donc f est strictement croissante si p 0 ; de plus,
f (x) tend vers +∞ quand x tend
vers +∞, vers −∞ quand x tend
vers −∞ et f est continue. On en
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