Exemple 1.
y
x
0
r
r
M
m
M
2
/
C
construction de l'ellipse
x
2 + 4y
2 = r
2
y
x
des lignes de niveau de f
Pour tout (x, y) ∈ R
2 , posons f (x, y) =
x
2 + 4y
2 . Pour cette fonction, la ligne de niveau k a pour
équation x
2 + 4y
2 = k. Si k < 0, A(k) est l’ensemble vide.
L’ensemble A(0) est réduit au point (0, 0). Supposons
k = r
2 , où r >0, et notons C le cercle de centre (0,0) et de
rayon r. On a les équivalences (x,y)∈A(k)⇐⇒x
2 +(2y)
2 =
r
2
⇐⇒ (x, 2y) ∈ C .
Notons M le point de coordonnées (x,y), M
le point de
coordonnées (x, 2y) et m le point de coordonnées (x, 0).
Comme M est le milieu de mM
, on en déduit une construction de la courbe A(k) : faire parcourir à M
le cercle
C et prendre les milieux des segments mM
, où m est
le projeté de M
sur l’axe des abscisses. La courbe A(k)
est une ellipse de centre O et d’axes Ox, Oy ; on dit que
C est son cercle directeur. Pour des valeurs différentes
de k, ces ellipses sont disjointes et quand k parcourt
[0, +∞[, la réunion des A(k) est le plan tout entier.
Exemple 2. La fonction f : R
2
→ R définie par f (x, y) = x
2
− 4y
2 a pour ligne de
niveau k la courbe d’équation x
2
− 4y
2 = k. Si k = 0, on obtient la réunion des deux
droites d’équation x + 2y = 0 et x − 2y = 0, car x
2
− 4y
2 = (x + 2y)(x − 2y).
Supposons k = 0 et choisissons un repère centré à l’origine O dont les axes OX et
OY sont portés par les droites d’équation x + 2y = 0 et x − 2y = 0. L’équation de la
ligne de niveau dans ce repère devient XY = c, où c est une constante qui dépend
de k et de l’unité de longueur sur les axes : la courbe est donc une hyperbole
d’asymptotes les axes OX et OY ; les branches sont situées dans des quarts de plans
opposés qui dépendent du signe de k.
x
x + 2 y = 0
x − 2 y = 0
X
Y
k < 0
O
y
x
x + 2 y = 0
x − 2 y = 0
X
Y
k > 0
O
Application bijective
Définition
On dit qu’une application f : E → F est bijective, ou que f est une bijection, si
tout élément de F possède exactement un antécédent. Pour tout y ∈ F , l’unique
antécédent de y se note f
−1 (y).
22 – LES FONCTIONS
y
x
0
r
r
M
m
M
2
/
C
construction de l'ellipse
x
2 + 4y
2 = r
2
y
x
des lignes de niveau de f
Pour tout (x, y) ∈ R
2 , posons f (x, y) =
x
2 + 4y
2 . Pour cette fonction, la ligne de niveau k a pour
équation x
2 + 4y
2 = k. Si k < 0, A(k) est l’ensemble vide.
L’ensemble A(0) est réduit au point (0, 0). Supposons
k = r
2 , où r >0, et notons C le cercle de centre (0,0) et de
rayon r. On a les équivalences (x,y)∈A(k)⇐⇒x
2 +(2y)
2 =
r
2
⇐⇒ (x, 2y) ∈ C .
Notons M le point de coordonnées (x,y), M
le point de
coordonnées (x, 2y) et m le point de coordonnées (x, 0).
Comme M est le milieu de mM
, on en déduit une construction de la courbe A(k) : faire parcourir à M
le cercle
C et prendre les milieux des segments mM
, où m est
le projeté de M
sur l’axe des abscisses. La courbe A(k)
est une ellipse de centre O et d’axes Ox, Oy ; on dit que
C est son cercle directeur. Pour des valeurs différentes
de k, ces ellipses sont disjointes et quand k parcourt
[0, +∞[, la réunion des A(k) est le plan tout entier.
Exemple 2. La fonction f : R
2
→ R définie par f (x, y) = x
2
− 4y
2 a pour ligne de
niveau k la courbe d’équation x
2
− 4y
2 = k. Si k = 0, on obtient la réunion des deux
droites d’équation x + 2y = 0 et x − 2y = 0, car x
2
− 4y
2 = (x + 2y)(x − 2y).
Supposons k = 0 et choisissons un repère centré à l’origine O dont les axes OX et
OY sont portés par les droites d’équation x + 2y = 0 et x − 2y = 0. L’équation de la
ligne de niveau dans ce repère devient XY = c, où c est une constante qui dépend
de k et de l’unité de longueur sur les axes : la courbe est donc une hyperbole
d’asymptotes les axes OX et OY ; les branches sont situées dans des quarts de plans
opposés qui dépendent du signe de k.
x
x + 2 y = 0
x − 2 y = 0
X
Y
k < 0
O
y
x
x + 2 y = 0
x − 2 y = 0
X
Y
k > 0
O
Application bijective
Définition
On dit qu’une application f : E → F est bijective, ou que f est une bijection, si
tout élément de F possède exactement un antécédent. Pour tout y ∈ F , l’unique
antécédent de y se note f
−1 (y).
22 – LES FONCTIONS