Proposition. Soit f : I → R une fonction, où I est une partie. Si f est strictement
monotone, alors tout nombre réel a au plus un antécédent par f .
Démonstration. Supposons par exemple que f est strictement croissante sur I . Soit b un
nombre réel. Faisons l’hypothèse que b a un antécédent a∈I . Soit x un élément de I tel que x puisque f est strictement croissante, on a f (x) < f(a) = b, donc f (x) n’est pas égal à b, donc x
n’est pas un antécédent de b. De même, si x>a, alors f (x)>f (a)=b et x n’est pas un antécédent
de b. Le seul antécédent de b est donc a. Tout nombre réel a donc zéro ou un antécédent par f .
Partition définie par une application
Soit f : E → F une application. Pour tout élément b ∈ F , notons A(b) l’ensemble
des antécédents de b par f : on a donc
A(b) = {x ∈ E | f (x) = b} .
Voici des propriétés générales de ces parties A(b) de E .
a) La réunion de toutes les parties A(b) est l’ensemble E .
En effet, si a est un élément quelconque de E , alors a est un antécédent de l’élément
b = f (a), donc a appartient à A(b).
b) Si b et b
sont deux éléments différents appartenant à F , alors l’intersection A(b) ∩ A(b
)
ne contient aucun élément.
Supposons en effet que b et b
sont des éléments de F et qu’il existe au moins un
élément x ∈ A(b) ∩ A(b
) ; puisque x ∈ A(b), on a f (x) = b et puisque x ∈ A(b
), on
a de même f (x) = b
; on en déduit b = b
. Par conséquent, si b = b
, il n’y a aucun
élément dans l’intersection A(b) ∩ A(b
).
Certaines parties A(b) peuvent ne contenir aucun élément ; si l’on supprime ces
parties vides, on obtient une partition de l’ensemble E , c’est-à-dire par définition, des
parties non vides, deux à deux disjointes et dont la réunion est l’ensemble E .
Définition
Supposons que f est une application à valeurs réelles définie sur une partie de
R
2 ou de R
3 . Pour tout nombre réel k, l’ensemble A(k) s’appelle la ligne ou la
surface de niveau k de l’application f .
figure 1
figure 2
figure 3
figure 4
Sur la carte topographique d’une
région montagneuse, les lignes de
niveau joignent les points qui sont
à la même altitude : par exemple,
à proximité d’un col, les lignes de
niveau ont l’allure typique représentée figure 4 ; les figures 1, 2 et 3
montrent les coupes de terrain correspondantes. Sur une carte marine, les lignes de sonde sont les lignes de niveau pour
la fonction profondeur.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 21
monotone, alors tout nombre réel a au plus un antécédent par f .
Démonstration. Supposons par exemple que f est strictement croissante sur I . Soit b un
nombre réel. Faisons l’hypothèse que b a un antécédent a∈I . Soit x un élément de I tel que x puisque f est strictement croissante, on a f (x) < f(a) = b, donc f (x) n’est pas égal à b, donc x
n’est pas un antécédent de b. De même, si x>a, alors f (x)>f (a)=b et x n’est pas un antécédent
de b. Le seul antécédent de b est donc a. Tout nombre réel a donc zéro ou un antécédent par f .
Partition définie par une application
Soit f : E → F une application. Pour tout élément b ∈ F , notons A(b) l’ensemble
des antécédents de b par f : on a donc
A(b) = {x ∈ E | f (x) = b} .
Voici des propriétés générales de ces parties A(b) de E .
a) La réunion de toutes les parties A(b) est l’ensemble E .
En effet, si a est un élément quelconque de E , alors a est un antécédent de l’élément
b = f (a), donc a appartient à A(b).
b) Si b et b
sont deux éléments différents appartenant à F , alors l’intersection A(b) ∩ A(b
)
ne contient aucun élément.
Supposons en effet que b et b
sont des éléments de F et qu’il existe au moins un
élément x ∈ A(b) ∩ A(b
) ; puisque x ∈ A(b), on a f (x) = b et puisque x ∈ A(b
), on
a de même f (x) = b
; on en déduit b = b
. Par conséquent, si b = b
, il n’y a aucun
élément dans l’intersection A(b) ∩ A(b
).
Certaines parties A(b) peuvent ne contenir aucun élément ; si l’on supprime ces
parties vides, on obtient une partition de l’ensemble E , c’est-à-dire par définition, des
parties non vides, deux à deux disjointes et dont la réunion est l’ensemble E .
Définition
Supposons que f est une application à valeurs réelles définie sur une partie de
R
2 ou de R
3 . Pour tout nombre réel k, l’ensemble A(k) s’appelle la ligne ou la
surface de niveau k de l’application f .
figure 1
figure 2
figure 3
figure 4
Sur la carte topographique d’une
région montagneuse, les lignes de
niveau joignent les points qui sont
à la même altitude : par exemple,
à proximité d’un col, les lignes de
niveau ont l’allure typique représentée figure 4 ; les figures 1, 2 et 3
montrent les coupes de terrain correspondantes. Sur une carte marine, les lignes de sonde sont les lignes de niveau pour
la fonction profondeur.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 21