3.3 Notion d'antécédent, application bijective
Définition
Soit f : E → F une application. Si b est un élément de F , alors tout élément x ∈ E
tel que f (x) = b s’appelle un antécédent de b par l’application f .
® Si b est un élément de l’ensemble d’arrivée, résoudre l’équation f (x) = b, c’est
chercher tous les antécédents de b.
® Pour qu’un élément b ∈ F ait au moins un antécédent par f , il faut et il suffit
que b appartienne à l’image de f .
Exemples
1) Considérons la fonction valeur absolue x → |x|. Si b est un nombre réel strictement
positif, alors l’équation |x| = b possède deux solutions b et −b, donc b a deux
antécédents. Un nombre strictement négatif n’a pas d’antécédent. Le nombre 0 a
pour seul antécédent 0.
2) Donnons-nous un nombre réel b et étudions l’équation sin x = b. Si |b| > 1, cette
équation n’a pas de solution, car pour tout nombre réel x, on a −1 sin x 1 ;
un nombre de valeur absolue strictement supérieure à 1 n’a donc pas d’antécédent par la fonction sinus. Supposons |b| 1 ; alors il existe un (unique) nombre
a ∈ [−π/2, π/2] tel que sin a = b. On a les équivalences
sin x = b ⇐⇒ sin x = sin a ⇐⇒ (x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ), où k ∈ Z .
Tout nombre b ∈ [−1, 1] a donc une infinité d’antécédents par la fonction sinus.
3) Pour tout nombre réel b ∈ [−1, 1], l’équation sin x = b possède une seule solution
dans l’intervalle [−π/2, π/2]. Si l’on définit la fonction s : [−π/2, π/2] → [−1, 1] en
posant s(x) = sin x, alors tout élément de l’intervalle [−1, 1] possède un unique
antécédent par s.
4) Un exemple arithmétique. Si b est un entier donné, quelles sont les façons de
l’écrire sous la forme 5x + 7y avec x et y des entiers relatifs ?
Définissons la fonction g:Z×Z→Z en posant g(x,y)=5x+7y. Pour tout entier b∈Z,
on a g(3b,−2b)=5×3b+7×(−2b)=b, donc le couple (3b,−2b) est un antécédent de
b. Cherchons les autres antécédents de b. Ce sont les couples (x,y) d’entiers vérifiant
5x + 7y = b ⇐⇒ 5x + 7y = 5(3b) + 7(−2b) ⇐⇒ 5(x − 3b) = −7(y + 2b) .
L’entier 5(x − 3b) est multiple de 7 (car y + 2b est entier). Puisque 7 et 5 sont
premiers entre eux, on en déduit que l’entier x − 3b est multiple de 7. On a donc
x − 3b = 7k, où k ∈ Z. Il vient 5(x − 3b) = 5 × 7k = 7(−y − 2b), d’où 5k = −y − 2b.
Finalement, les antécédents de b sont les couples (3b + 7k, −2b − 5k), où k est un
entier relatif quelconque. Ce sont les couples (x, y) d’entiers tels que b = 5x + 7y.
Pour une fonction définie sur une partie de R et à valeurs réelles, l’étude du sens
de variation renseigne sur le nombre d’antécédents d’un élément.
20 – LES FONCTIONS
Définition
Soit f : E → F une application. Si b est un élément de F , alors tout élément x ∈ E
tel que f (x) = b s’appelle un antécédent de b par l’application f .
® Si b est un élément de l’ensemble d’arrivée, résoudre l’équation f (x) = b, c’est
chercher tous les antécédents de b.
® Pour qu’un élément b ∈ F ait au moins un antécédent par f , il faut et il suffit
que b appartienne à l’image de f .
Exemples
1) Considérons la fonction valeur absolue x → |x|. Si b est un nombre réel strictement
positif, alors l’équation |x| = b possède deux solutions b et −b, donc b a deux
antécédents. Un nombre strictement négatif n’a pas d’antécédent. Le nombre 0 a
pour seul antécédent 0.
2) Donnons-nous un nombre réel b et étudions l’équation sin x = b. Si |b| > 1, cette
équation n’a pas de solution, car pour tout nombre réel x, on a −1 sin x 1 ;
un nombre de valeur absolue strictement supérieure à 1 n’a donc pas d’antécédent par la fonction sinus. Supposons |b| 1 ; alors il existe un (unique) nombre
a ∈ [−π/2, π/2] tel que sin a = b. On a les équivalences
sin x = b ⇐⇒ sin x = sin a ⇐⇒ (x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ), où k ∈ Z .
Tout nombre b ∈ [−1, 1] a donc une infinité d’antécédents par la fonction sinus.
3) Pour tout nombre réel b ∈ [−1, 1], l’équation sin x = b possède une seule solution
dans l’intervalle [−π/2, π/2]. Si l’on définit la fonction s : [−π/2, π/2] → [−1, 1] en
posant s(x) = sin x, alors tout élément de l’intervalle [−1, 1] possède un unique
antécédent par s.
4) Un exemple arithmétique. Si b est un entier donné, quelles sont les façons de
l’écrire sous la forme 5x + 7y avec x et y des entiers relatifs ?
Définissons la fonction g:Z×Z→Z en posant g(x,y)=5x+7y. Pour tout entier b∈Z,
on a g(3b,−2b)=5×3b+7×(−2b)=b, donc le couple (3b,−2b) est un antécédent de
b. Cherchons les autres antécédents de b. Ce sont les couples (x,y) d’entiers vérifiant
5x + 7y = b ⇐⇒ 5x + 7y = 5(3b) + 7(−2b) ⇐⇒ 5(x − 3b) = −7(y + 2b) .
L’entier 5(x − 3b) est multiple de 7 (car y + 2b est entier). Puisque 7 et 5 sont
premiers entre eux, on en déduit que l’entier x − 3b est multiple de 7. On a donc
x − 3b = 7k, où k ∈ Z. Il vient 5(x − 3b) = 5 × 7k = 7(−y − 2b), d’où 5k = −y − 2b.
Finalement, les antécédents de b sont les couples (3b + 7k, −2b − 5k), où k est un
entier relatif quelconque. Ce sont les couples (x, y) d’entiers tels que b = 5x + 7y.
Pour une fonction définie sur une partie de R et à valeurs réelles, l’étude du sens
de variation renseigne sur le nombre d’antécédents d’un élément.
20 – LES FONCTIONS