c
p 0 p
240
180
Pour calculer l’équation de la courbe où se trouvent les points (p n , c n ), éliminons n entre les
expressions données en (1) et (2). On a (0,8)
n =
p n /p 0 et comme 1,25 × 0,8 = 1, il vient (1,25)
n =
p 0 /p n . D’où
c n =
p 0
p n
c 0 − 4
3
p 0
p n
−
p n
p 0
p 0 =
p 0
p n
c 0 − 4
3
p 0
+ 4
3
p n
(3c n − 4p n )p n = (3c 0 − 4p 0 )p 0 .
Ainsi la quantité (3c n − 4p n )p n reste constante
au cours de l’itération, autrement dit les points
(p n ,c n ) sont sur la courbe d’équation (3c−4p)p=
k, où k = (3c 0 − 4p 0 )p 0 . En prenant p comme
variable, il vient c(p) = (1/3)(4p + k/p), la fonction c étant définie sur ]0, +∞[. La dérivée est
c
(p) = (1/3)(4 − k/p
2 ).
Premier cas : 3c 0 > 4p 0 . On a alors k >0, la dérivée s’annule si 4p
2 =k, c’est-à-dire
si p =
√
k/2, d’où le tableau de variations :
p
0
√
k/2
+∞
c(p)
Puisque la pollution diminue chaque année, la courbe est parcourue dans le sens
des abscisses décroissantes et la pollution tend vers 0. En supposant p 0 >
√
k/2,
c’est-à-dire 4p 0 > 3c 0 /2, le coût commence par diminuer jusqu’à la valeur minimum c(
√
k/2), puis augmente et tend vers l’infini. Si n est l’entier tel que
p n+1
√
k/2 < p n , le coût minimum est obtenu la (n+1)-ième année.
Deuxième cas : 3c 0 < 4p 0 . La constante k est négative, la dérivée c
(p) est strictement positive et la fonction p → c(p) est strictement croissante. Quand p tend vers
0, c(p) tend vers −∞ et quand p tend vers +∞, c(p) tend vers +∞. Puisque la
courbe est parcourue dans le sens des abscisses décroissantes, on atteint ainsi un
point où c = 0, ce qui est irréaliste car le coût énergétique est une quantité positive.
Troisième cas : 3c 0 = 4p 0 . Les valeurs de c 0 et de p 0 étant le résultat de mesures,
l’égalité 3c 0 = 4p 0 n’est sûrement pas réalisée exactement : il s’agit d’un cas limite. D’un point de vue mathématique, on a alors c(p) = (4/3)p : la courbe est la
demi-droite de pente 4/3 passant par l’origine. Le rapport c n /p n reste égal à 4/3
et les points de coordonnées (p n ,c n ) tendent vers l’origine quand n tend vers +∞.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 19
p 0 p
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180
Pour calculer l’équation de la courbe où se trouvent les points (p n , c n ), éliminons n entre les
expressions données en (1) et (2). On a (0,8)
n =
p n /p 0 et comme 1,25 × 0,8 = 1, il vient (1,25)
n =
p 0 /p n . D’où
c n =
p 0
p n
c 0 − 4
3
p 0
p n
−
p n
p 0
p 0 =
p 0
p n
c 0 − 4
3
p 0
+ 4
3
p n
(3c n − 4p n )p n = (3c 0 − 4p 0 )p 0 .
Ainsi la quantité (3c n − 4p n )p n reste constante
au cours de l’itération, autrement dit les points
(p n ,c n ) sont sur la courbe d’équation (3c−4p)p=
k, où k = (3c 0 − 4p 0 )p 0 . En prenant p comme
variable, il vient c(p) = (1/3)(4p + k/p), la fonction c étant définie sur ]0, +∞[. La dérivée est
c
(p) = (1/3)(4 − k/p
2 ).
Premier cas : 3c 0 > 4p 0 . On a alors k >0, la dérivée s’annule si 4p
2 =k, c’est-à-dire
si p =
√
k/2, d’où le tableau de variations :
p
0
√
k/2
+∞
c(p)
Puisque la pollution diminue chaque année, la courbe est parcourue dans le sens
des abscisses décroissantes et la pollution tend vers 0. En supposant p 0 >
√
k/2,
c’est-à-dire 4p 0 > 3c 0 /2, le coût commence par diminuer jusqu’à la valeur minimum c(
√
k/2), puis augmente et tend vers l’infini. Si n est l’entier tel que
p n+1
√
k/2 < p n , le coût minimum est obtenu la (n+1)-ième année.
Deuxième cas : 3c 0 < 4p 0 . La constante k est négative, la dérivée c
(p) est strictement positive et la fonction p → c(p) est strictement croissante. Quand p tend vers
0, c(p) tend vers −∞ et quand p tend vers +∞, c(p) tend vers +∞. Puisque la
courbe est parcourue dans le sens des abscisses décroissantes, on atteint ainsi un
point où c = 0, ce qui est irréaliste car le coût énergétique est une quantité positive.
Troisième cas : 3c 0 = 4p 0 . Les valeurs de c 0 et de p 0 étant le résultat de mesures,
l’égalité 3c 0 = 4p 0 n’est sûrement pas réalisée exactement : il s’agit d’un cas limite. D’un point de vue mathématique, on a alors c(p) = (4/3)p : la courbe est la
demi-droite de pente 4/3 passant par l’origine. Le rapport c n /p n reste égal à 4/3
et les points de coordonnées (p n ,c n ) tendent vers l’origine quand n tend vers +∞.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 19