Les concentrations des bactéries A et B reviennent donc vers les valeurs d’équilibre
a et b en fluctuant autour de cet équilibre. On peut estimer la vitesse de retour vers
l’équilibre en cherchant n pour que |x n | et |y n | soient, par exemple, inférieurs à 10
−2 :
il suffit pour cela que l’on ait δ(x n , y n ) 10
−4 , ou encore (0,84)
n
× 0,0756 10
−4 .
En prenant le logarithme, cette inégalité devient n ln(0,84) + ln(0,0756) −4 ln(10)
c’est-à-dire n
4 ln(10) + ln(0,0756)
− ln(0,84)
= 38,01 · · ·, d’où n 39.
Exemple 4. Dans un secteur de production, on diminue chaque année de 20%
la pollution produite, mais parallèlement le coût énergétique présente une variation
relative 0,25 − 0,6/r, où r est le rapport coût sur pollution, mesuré à l’aide d’unités
convenables. À une certaine date, on mesure une pollution annuelle p 0 et un coût
correspondant c 0 . Comment évolueront la pollution produite et le coût en énergie ?
Notons p n la pollution produite pendant la n-ième année et c n le coût énergétique.
Le taux
p n+1 − p n
p n
est égal à −0,2. Si l’on note r n le rapport c n /p n , alors le taux
c n+1 − c n
c n
est égal à 0,25 − 0,6/r n .
Exprimons le couple (p n+1 , c n+1 ) au moyen de (p n , c n ). L’égalité
p n+1 − p n
p n
= −0,2
conduit à p n+1 = 0,8p n et puisqu’on a
c n+1 − c n
c n
= 0,25 − 0,6(p n /c n ), il vient c n+1 =
1,25c n − 0,6p n . On a donc le système d’égalités
p n+1 = 0,8p n
c n+1 = 1,25c n − 0,6p n
Si l’on définit la fonction f :R
2
→R
2 en posant f (p,c)=(0,8p , 1,25c−0,6p), ces égalités
expriment que les couples (p n ,c n ) sont les itérés du couple (p 0 ,c 0 ) par la fonction f .
D’après la première égalité, p n suit une progression géométrique : on a donc
(1)
p n = (0,8)
n p 0 .
En divisant membre à membre les égalités du système, il vient
r n+1 =
c n+1
p n+1
=
1,25c n
0,8p n
−
0,6p n
0,8p n
=
12,5
8
r n −
0,6
0,8
= 25
16
r n − 3
4
.
Les nombres r n s’obtiennent en itérant la fonction r → (25/16)r − (3/4) ; comme
dans l’exemple 2, on a donc
r n = (25/16)
n r 0 − (3/4)
(25/16)
n
− 1
9/16
= (25/16)
n r 0 − (4/3)
(25/16)
n
−1
.
Multiplions par p n =(0,8)
n p 0 en remarquant que l’on a 0,8×(25/16)=0,05×25=1,25 :
(2)
c n = (1,25)
n c 0 − (4/3)
(1,25)
n
−(0,8)
n
p 0 .
Sur la figure ci-après, nous avons représenté les points de coordonnées (p n , c n ) pour
les premières valeurs de n, avec différentes données initiales p 0 et c 0 .
18 – LES FONCTIONS
a et b en fluctuant autour de cet équilibre. On peut estimer la vitesse de retour vers
l’équilibre en cherchant n pour que |x n | et |y n | soient, par exemple, inférieurs à 10
−2 :
il suffit pour cela que l’on ait δ(x n , y n ) 10
−4 , ou encore (0,84)
n
× 0,0756 10
−4 .
En prenant le logarithme, cette inégalité devient n ln(0,84) + ln(0,0756) −4 ln(10)
c’est-à-dire n
4 ln(10) + ln(0,0756)
− ln(0,84)
= 38,01 · · ·, d’où n 39.
Exemple 4. Dans un secteur de production, on diminue chaque année de 20%
la pollution produite, mais parallèlement le coût énergétique présente une variation
relative 0,25 − 0,6/r, où r est le rapport coût sur pollution, mesuré à l’aide d’unités
convenables. À une certaine date, on mesure une pollution annuelle p 0 et un coût
correspondant c 0 . Comment évolueront la pollution produite et le coût en énergie ?
Notons p n la pollution produite pendant la n-ième année et c n le coût énergétique.
Le taux
p n+1 − p n
p n
est égal à −0,2. Si l’on note r n le rapport c n /p n , alors le taux
c n+1 − c n
c n
est égal à 0,25 − 0,6/r n .
Exprimons le couple (p n+1 , c n+1 ) au moyen de (p n , c n ). L’égalité
p n+1 − p n
p n
= −0,2
conduit à p n+1 = 0,8p n et puisqu’on a
c n+1 − c n
c n
= 0,25 − 0,6(p n /c n ), il vient c n+1 =
1,25c n − 0,6p n . On a donc le système d’égalités
p n+1 = 0,8p n
c n+1 = 1,25c n − 0,6p n
Si l’on définit la fonction f :R
2
→R
2 en posant f (p,c)=(0,8p , 1,25c−0,6p), ces égalités
expriment que les couples (p n ,c n ) sont les itérés du couple (p 0 ,c 0 ) par la fonction f .
D’après la première égalité, p n suit une progression géométrique : on a donc
(1)
p n = (0,8)
n p 0 .
En divisant membre à membre les égalités du système, il vient
r n+1 =
c n+1
p n+1
=
1,25c n
0,8p n
−
0,6p n
0,8p n
=
12,5
8
r n −
0,6
0,8
= 25
16
r n − 3
4
.
Les nombres r n s’obtiennent en itérant la fonction r → (25/16)r − (3/4) ; comme
dans l’exemple 2, on a donc
r n = (25/16)
n r 0 − (3/4)
(25/16)
n
− 1
9/16
= (25/16)
n r 0 − (4/3)
(25/16)
n
−1
.
Multiplions par p n =(0,8)
n p 0 en remarquant que l’on a 0,8×(25/16)=0,05×25=1,25 :
(2)
c n = (1,25)
n c 0 − (4/3)
(1,25)
n
−(0,8)
n
p 0 .
Sur la figure ci-après, nous avons représenté les points de coordonnées (p n , c n ) pour
les premières valeurs de n, avec différentes données initiales p 0 et c 0 .
18 – LES FONCTIONS