Les couples (x n , y n ) sont les itérés de (x 0 , y 0 ) par la fonction f : R
2
→ R
2 définie par
f (x, y) = (X, Y ) , où X = 1
5
(3x − 6y) et Y = 1
5
(2x + 3y) .
x
0,1
0,1
y
M 1
M 2
M 3
M 4
M 5
M 0
x 0
y 0
R
2
f
f
f
f
f
On vérifie facilement que le seul point fixe
de f est (0, 0) : cela veut dire que les concentrations de A et B ne peuvent rester en
équilibre que pour les valeurs a et b.
Le graphique ci-contre montre les points
M 0 =(x 0 ,y 0 ),M 1 =(x 1 ,y 1 ),. . .,M 30 =(x 30 ,y 30 ) :
ils se situent sur une courbe en spirale qui
entoure l’origine et s’en rapproche, x n et y n
pouvant prendre des valeurs positives ou
négatives. Observons la distance à l’origine
d’un point M n : elle n’est pas décroissante
mais semble cependant tendre vers 0, ce qui
indique que M n tend vers l’origine quand
n tend vers l’infini.
Pour mesurer l’éloignement à l’origine d’un point (x, y), nous allons utiliser une
fonction δ(x, y) = x
2 + ey
2 , où e > 0. Si d est un nombre positif, les points (x, y) tels
que δ(x, y) = d, c’est-à-dire la courbe d’équation x
2 + ey
2 = d, est une ellipse centrée
à l’origine (exemple 1 page 22). Les points (x, y) tels que δ(x, y) d sont à l’intérieur
de l’ellipse et plus d est petit, plus ces points sont proches de l’origine : δ(x, y) peut
donc servir à mesurer l’éloignement à l’origine. Remarquons que si l’on choisit e = 1,
δ(x, y) est le carré de la distance à l’origine et les ellipses sont des cercles.
Comparons les nombres δ(X, Y ) et δ(x, y).
δ(X, Y )−δ(x, y) = X
2 +eY
2
−x
2
−ey
2 = 1
25
(3x−6y)
2 + e(2x+3y)
2
−25x
2
−25ey
2
= 1
25
4(e − 4)x
2 + 12(−3 + e)xy + 4(9 − 4e)y
2
.
Choisissons e = 3. Il vient
δ(X, Y ) − δ(x, y) = 1
25
−4x
2
− 12y
2
= − 4
25
(x
2 + 3y
2 ) = − 4
25
δ(x, y) ,
d’où δ(X, Y ) = 21
25
δ(x, y) = 0,84 δ(x, y) et finalement
δ(x n+1 , y n+1 ) = (0,84) δ(x n , y n ) pour tout n.
La suite des nombres δ(x n , y n ) est géométrique, de premier terme δ(x 0 , y 0 ) =
δ(0,18 , 0,12) = 0,0756 et de raison 0,84, de sorte que
δ(x n , y n ) = (0,84)
n δ(x 0 , y 0 )
pour tout n.
Puisque le nombre 0,84 est strictement inférieur à 1, les puissances (0,84)
n tendent
vers 0 et δ(x n ,y n ) aussi. Remarquons que l’on a |x|
x 2 + 3y 2 et |y|
x 2 + 3y 2 ,
donc |x n |
δ(x n , y n ) et |y n |
δ(x n , y n ). Il s’ensuit que les nombres x n et y n
tendent vers 0.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 17
2
→ R
2 définie par
f (x, y) = (X, Y ) , où X = 1
5
(3x − 6y) et Y = 1
5
(2x + 3y) .
x
0,1
0,1
y
M 1
M 2
M 3
M 4
M 5
M 0
x 0
y 0
R
2
f
f
f
f
f
On vérifie facilement que le seul point fixe
de f est (0, 0) : cela veut dire que les concentrations de A et B ne peuvent rester en
équilibre que pour les valeurs a et b.
Le graphique ci-contre montre les points
M 0 =(x 0 ,y 0 ),M 1 =(x 1 ,y 1 ),. . .,M 30 =(x 30 ,y 30 ) :
ils se situent sur une courbe en spirale qui
entoure l’origine et s’en rapproche, x n et y n
pouvant prendre des valeurs positives ou
négatives. Observons la distance à l’origine
d’un point M n : elle n’est pas décroissante
mais semble cependant tendre vers 0, ce qui
indique que M n tend vers l’origine quand
n tend vers l’infini.
Pour mesurer l’éloignement à l’origine d’un point (x, y), nous allons utiliser une
fonction δ(x, y) = x
2 + ey
2 , où e > 0. Si d est un nombre positif, les points (x, y) tels
que δ(x, y) = d, c’est-à-dire la courbe d’équation x
2 + ey
2 = d, est une ellipse centrée
à l’origine (exemple 1 page 22). Les points (x, y) tels que δ(x, y) d sont à l’intérieur
de l’ellipse et plus d est petit, plus ces points sont proches de l’origine : δ(x, y) peut
donc servir à mesurer l’éloignement à l’origine. Remarquons que si l’on choisit e = 1,
δ(x, y) est le carré de la distance à l’origine et les ellipses sont des cercles.
Comparons les nombres δ(X, Y ) et δ(x, y).
δ(X, Y )−δ(x, y) = X
2 +eY
2
−x
2
−ey
2 = 1
25
(3x−6y)
2 + e(2x+3y)
2
−25x
2
−25ey
2
= 1
25
4(e − 4)x
2 + 12(−3 + e)xy + 4(9 − 4e)y
2
.
Choisissons e = 3. Il vient
δ(X, Y ) − δ(x, y) = 1
25
−4x
2
− 12y
2
= − 4
25
(x
2 + 3y
2 ) = − 4
25
δ(x, y) ,
d’où δ(X, Y ) = 21
25
δ(x, y) = 0,84 δ(x, y) et finalement
δ(x n+1 , y n+1 ) = (0,84) δ(x n , y n ) pour tout n.
La suite des nombres δ(x n , y n ) est géométrique, de premier terme δ(x 0 , y 0 ) =
δ(0,18 , 0,12) = 0,0756 et de raison 0,84, de sorte que
δ(x n , y n ) = (0,84)
n δ(x 0 , y 0 )
pour tout n.
Puisque le nombre 0,84 est strictement inférieur à 1, les puissances (0,84)
n tendent
vers 0 et δ(x n ,y n ) aussi. Remarquons que l’on a |x|
x 2 + 3y 2 et |y|
x 2 + 3y 2 ,
donc |x n |
δ(x n , y n ) et |y n |
δ(x n , y n ). Il s’ensuit que les nombres x n et y n
tendent vers 0.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 17