et la droite d’équation y = x sur l’intervalle [0,2/10]. On y a construit une ligne brisée
formée de segments alternativement horizontaux et verticaux, de la manière suivante :
® le segment vertical le plus à droite est à l’abscisse a 0 = 2/10, donc coupe le graphe
de f au point d’ordonnée f (a 0 ) = a 1 ;
® le segment horizontal qui suit est à l’ordonnée a 1 , valeur qu’on reporte sur l’axe
des abscisses en passant par la bissectrice y = x : on a visiblement a 1 < a 0 ;
® le segment vertical d’abscisse a 1 coupe le graphe de f au point d’ordonnée
f (a 1 ) = a 2 ; reportons cette valeur a 2 sur l’axe des abscisses comme on l’a fait
pour a 1 : on observe que a 2 < a 1 .
Cette construction permet de visualiser sur l’axe des x l’évolution des itérés de
a 0 : la suite des nombres a n est décroissante et sa limite est l’abscisse du point
d’intersection de la courbe et de la bissectrice y = x. On a bien l’égalité = f ()
qui traduit que est un point fixe de f . Le seul point fixe de f inférieur à a 0 est
(1/2)(1−
3/5), par conséquent = (1/2)(1−
3/5).
Exemple 2. Soient a et b des nombres réels et soit f : R → R la fonction définie
par f (x) = ax + b.
Si a = 1 et b = 0, on a f (x) = x pour tout x, donc tous les nombres réels sont des
points fixes de f . Si a = 1 et b = 0, on a f (x) = x + b donc il n’y a aucun point fixe.
Supposons a = 1 . Un nombre x est point fixe de f si et seulement si ax + b = x,
ce qui équivaut à (1 − a)x = b. L’unique point fixe est donc ω = b/(1 − a).
On a f (x) − f (ω) = ax + b − (aω + b) = a(x − ω) et puisque f (ω) = ω, il vient
f (x) − ω = a(x − ω) pour tout x.
Donnons-nous un nombre réel x 0 et exprimons les itérés x 1 = ax 0 + b , x 2 =
ax 1 +b , . . . , x n =ax n−1 +b de x 0 . On a x 1 −ω=a(x 0 −ω), x 2 −ω=a(x 1 −ω)=a
2 (x 0 −ω)
et en général
x n − ω = a
n (x 0 − ω) pour tout entier n 1,
formule qui s’écrit encore
x n = a
n x 0 + ω(1 − a
n ) = a
n x 0 + b
1 − a
n
1 − a
.
Exemple 3. Dans des conditions stables, deux espèces A et B de bactéries vivent
en symbiose à des concentrations moyennes a et b. On déplace l’équilibre en augmentant de 18% la concentration de A et de 12% celle de B, puis on mesure chaque
jour l’écart à la moyenne des concentrations de chaque espèce. Au bout de n jours,
l’écart pour la bactérie A, en pourcentage de a, vaut x n et pour la bactérie B, il vaut
y n . Après modélisation, on est conduit à la loi d’évolution suivante :
x n+1 = (1/5)(3x n − 6y n )
y n+1 = (1/5)(2x n + 3y n )
avec x 0 = 0,18 et y 0 = 0,12 d’après nos conditions initiales.
16 – LES FONCTIONS
formée de segments alternativement horizontaux et verticaux, de la manière suivante :
® le segment vertical le plus à droite est à l’abscisse a 0 = 2/10, donc coupe le graphe
de f au point d’ordonnée f (a 0 ) = a 1 ;
® le segment horizontal qui suit est à l’ordonnée a 1 , valeur qu’on reporte sur l’axe
des abscisses en passant par la bissectrice y = x : on a visiblement a 1 < a 0 ;
® le segment vertical d’abscisse a 1 coupe le graphe de f au point d’ordonnée
f (a 1 ) = a 2 ; reportons cette valeur a 2 sur l’axe des abscisses comme on l’a fait
pour a 1 : on observe que a 2 < a 1 .
Cette construction permet de visualiser sur l’axe des x l’évolution des itérés de
a 0 : la suite des nombres a n est décroissante et sa limite est l’abscisse du point
d’intersection de la courbe et de la bissectrice y = x. On a bien l’égalité = f ()
qui traduit que est un point fixe de f . Le seul point fixe de f inférieur à a 0 est
(1/2)(1−
3/5), par conséquent = (1/2)(1−
3/5).
Exemple 2. Soient a et b des nombres réels et soit f : R → R la fonction définie
par f (x) = ax + b.
Si a = 1 et b = 0, on a f (x) = x pour tout x, donc tous les nombres réels sont des
points fixes de f . Si a = 1 et b = 0, on a f (x) = x + b donc il n’y a aucun point fixe.
Supposons a = 1 . Un nombre x est point fixe de f si et seulement si ax + b = x,
ce qui équivaut à (1 − a)x = b. L’unique point fixe est donc ω = b/(1 − a).
On a f (x) − f (ω) = ax + b − (aω + b) = a(x − ω) et puisque f (ω) = ω, il vient
f (x) − ω = a(x − ω) pour tout x.
Donnons-nous un nombre réel x 0 et exprimons les itérés x 1 = ax 0 + b , x 2 =
ax 1 +b , . . . , x n =ax n−1 +b de x 0 . On a x 1 −ω=a(x 0 −ω), x 2 −ω=a(x 1 −ω)=a
2 (x 0 −ω)
et en général
x n − ω = a
n (x 0 − ω) pour tout entier n 1,
formule qui s’écrit encore
x n = a
n x 0 + ω(1 − a
n ) = a
n x 0 + b
1 − a
n
1 − a
.
Exemple 3. Dans des conditions stables, deux espèces A et B de bactéries vivent
en symbiose à des concentrations moyennes a et b. On déplace l’équilibre en augmentant de 18% la concentration de A et de 12% celle de B, puis on mesure chaque
jour l’écart à la moyenne des concentrations de chaque espèce. Au bout de n jours,
l’écart pour la bactérie A, en pourcentage de a, vaut x n et pour la bactérie B, il vaut
y n . Après modélisation, on est conduit à la loi d’évolution suivante :
x n+1 = (1/5)(3x n − 6y n )
y n+1 = (1/5)(2x n + 3y n )
avec x 0 = 0,18 et y 0 = 0,12 d’après nos conditions initiales.
16 – LES FONCTIONS