Définitions
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur une partie de l’ensemble R.
® f est croissante si, pour tous nombres x et y appartenant à l’ensemble de départ
et vérifiant x y, on a f (x) f (y) ;
® f strictement croissante si, pour tous nombres x et y appartenant à l’ensemble
de départ et vérifiant x < y, on a f (x) < f(y).
® On définit de même une fonction décroissante et une fonction strictement décroissante.
La composée de deux fonctions croissantes est croissante, de même que la composée de deux fonctions décroissantes. Si l’on compose une fonction croissante et une
fonction décroissante, on obtient une fonction décroissante.
3.2 Transformation et itération
Une fonction f : E → E s’appelle une transformation de E .
Si f est une transformation de E , alors pour tout élément x 0 de E , l’élément
x 1 = f (x 0 ) appartient encore à E et l’on peut définir les éléments x 2 = f (x 1 ),
x 3 = f (x 2 ), etc. On forme ainsi les itérés x 1 ,x 2 ,. . .,x n ,. . . de x 0 par la transformation
f : ils sont définis de proche en proche par la relation
pour tout entier n 0 , x n+1 = f (x n ).
La transformation x 0 → x n est réalisée par la fonction composée f ◦ f ◦ · · · ◦ f
n fois
, que
l’on note f
n : E → E .
Définition
Si f : E → E est une transformation, un élément x ∈ E tel que f (x) = x s’appelle
un point fixe de f .
Si x est un point fixe de f , tous les itérés de x sont égaux à x.
Exemple 1. Reprenons les nombres a n définis (exemple page 7) par les relations
a 0 = 2/10 et a n+1 = a
2
n + (1/10) pour tout entier n 0. En posant f (x) = x
2 + (1/10),
on obtient une fonction f : ]0, +∞[ → ]0, +∞[ et les nombres a n sont les itérés par
f du nombre 2/10.
a 0
a 1
a 1
a 2
a 2
a 3
x
1/10
y
=
f ( x )
y
=
x
Les points fixes de f sont par définition les nombres
positifs solutions de l’équation x
2 + (1/10) = x. Puisque
les solutions (1/2)(1+
3/5) et (1/2)(1−
3/5) sont
des nombres positifs, ce sont les deux points fixes de
f . Dans l’exemple, nous avions observé que les itérés
de a 0 tendent vers l’un des points fixes de f .
La figure ci-contre montre la courbe d’équation y = f (x)
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 15
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur une partie de l’ensemble R.
® f est croissante si, pour tous nombres x et y appartenant à l’ensemble de départ
et vérifiant x y, on a f (x) f (y) ;
® f strictement croissante si, pour tous nombres x et y appartenant à l’ensemble
de départ et vérifiant x < y, on a f (x) < f(y).
® On définit de même une fonction décroissante et une fonction strictement décroissante.
La composée de deux fonctions croissantes est croissante, de même que la composée de deux fonctions décroissantes. Si l’on compose une fonction croissante et une
fonction décroissante, on obtient une fonction décroissante.
3.2 Transformation et itération
Une fonction f : E → E s’appelle une transformation de E .
Si f est une transformation de E , alors pour tout élément x 0 de E , l’élément
x 1 = f (x 0 ) appartient encore à E et l’on peut définir les éléments x 2 = f (x 1 ),
x 3 = f (x 2 ), etc. On forme ainsi les itérés x 1 ,x 2 ,. . .,x n ,. . . de x 0 par la transformation
f : ils sont définis de proche en proche par la relation
pour tout entier n 0 , x n+1 = f (x n ).
La transformation x 0 → x n est réalisée par la fonction composée f ◦ f ◦ · · · ◦ f
n fois
, que
l’on note f
n : E → E .
Définition
Si f : E → E est une transformation, un élément x ∈ E tel que f (x) = x s’appelle
un point fixe de f .
Si x est un point fixe de f , tous les itérés de x sont égaux à x.
Exemple 1. Reprenons les nombres a n définis (exemple page 7) par les relations
a 0 = 2/10 et a n+1 = a
2
n + (1/10) pour tout entier n 0. En posant f (x) = x
2 + (1/10),
on obtient une fonction f : ]0, +∞[ → ]0, +∞[ et les nombres a n sont les itérés par
f du nombre 2/10.
a 0
a 1
a 1
a 2
a 2
a 3
x
1/10
y
=
f ( x )
y
=
x
Les points fixes de f sont par définition les nombres
positifs solutions de l’équation x
2 + (1/10) = x. Puisque
les solutions (1/2)(1+
3/5) et (1/2)(1−
3/5) sont
des nombres positifs, ce sont les deux points fixes de
f . Dans l’exemple, nous avions observé que les itérés
de a 0 tendent vers l’un des points fixes de f .
La figure ci-contre montre la courbe d’équation y = f (x)
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 15