Composée de deux fonctions. Soit f : E → F une fonction et soit g : F → G
une fonction définie sur l’ensemble F d’arrivée de f . Pour tout x ∈ E , on a f (x) ∈ F ,
donc g
f (x)
est un élément bien défini de l’ensemble G. L’association x → g
f (x)
est donc une fonction de E dans G.
Définition
La fonction de E dans G qui à tout x ∈ E associe l’élément g
f (x)
s’appelle la
composée des fonctions f et g et se note g ◦ f : E → G.
Si l’on a encore une fonction h : G → H , les composées
h ◦ (g ◦ f ) : E
g◦f
/ / G
h / / H
et
(h ◦ g) ◦ f : E
f
/ / F
h◦g
/ / H
sont des fonctions de E dans H . Comme on a l’égalité (h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ (g ◦ f )(x)
pour tout x, les fonctions (h ◦ g) ◦ f et h ◦ (g ◦ f ) sont égales et l’on omet les
parenthèses en écrivant simplement h ◦ g ◦ f cette composée.
Exemples
1) Supposons qu’une quantité w dépende du temps et de la distance à un point O.
Choisissons un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine O. Cela définit une fonction
w : (x,y,z,t) → w(x,y,z,t), où t est la variable temps et x,y,z les coordonnées spatiales. Comme w ne dépend que de t et de la distance r(x, y, z) =
x 2 + y 2 + z 2
au point O, posons f (r, t) = w(x, y, z, t) : la fonction f n’a que deux variables et
w est la composée w = f ◦ g, avec g(x, y, z, t) = (
x 2 + y 2 + z 2 , t) :
R
3
× R
g
→
R × R
(x, y, z, t) → (
x 2 + y 2 + z 2 , t)
R × R
f
→
R
(r, t) → f (r, t)
2) Posons f (x,y) =
xy
x
2 + y
2
, où x et y sont des nombres réels strictement positifs : cela
définit une fonction f : E → R, où E = ]0, +∞[×]0, +∞[. En divisant numérateur
et dénominateur par y
2 , il vient f (x, y) =
x/y
(x/y)
2 + 1
= t
t
2 + 1
, où t = x/y. Ainsi
les valeurs f (x, y) ne dépendent que du rapport x/y. Si l’on définit la fonction
u : ]0, +∞[ → R en posant u(t) = t
t
2 + 1
, alors on a f (x, y) = u(x/y), autrement
dit f est la composée f = u ◦ g, où g : E → ]0, +∞[ est définie par g(x, y) = x/y.
Quand les valeurs ϕ(x,y) d’une fonction ne dépendent que du rapport x/y (comme
c’est le cas pour f ), on dit que la fonction ϕ est homogène.
3) Définissons des fonctions de R dans R en posant f (x) = x
2 et g(x) = x + 1 :
on a g
f (x)
= x
2 + 1 et f
g(x)
= (x + 1)
2 , donc f ◦ g = g ◦ f . Dans le cas où
les composées f ◦ g et g ◦ f sont toutes les deux définies, on voit qu’en général,
l’ordre de composition compte.
Rappelons les définitions relatives aux fonctions monotones.
14 – LES FONCTIONS
une fonction définie sur l’ensemble F d’arrivée de f . Pour tout x ∈ E , on a f (x) ∈ F ,
donc g
f (x)
est un élément bien défini de l’ensemble G. L’association x → g
f (x)
est donc une fonction de E dans G.
Définition
La fonction de E dans G qui à tout x ∈ E associe l’élément g
f (x)
s’appelle la
composée des fonctions f et g et se note g ◦ f : E → G.
Si l’on a encore une fonction h : G → H , les composées
h ◦ (g ◦ f ) : E
g◦f
/ / G
h / / H
et
(h ◦ g) ◦ f : E
f
/ / F
h◦g
/ / H
sont des fonctions de E dans H . Comme on a l’égalité (h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ (g ◦ f )(x)
pour tout x, les fonctions (h ◦ g) ◦ f et h ◦ (g ◦ f ) sont égales et l’on omet les
parenthèses en écrivant simplement h ◦ g ◦ f cette composée.
Exemples
1) Supposons qu’une quantité w dépende du temps et de la distance à un point O.
Choisissons un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine O. Cela définit une fonction
w : (x,y,z,t) → w(x,y,z,t), où t est la variable temps et x,y,z les coordonnées spatiales. Comme w ne dépend que de t et de la distance r(x, y, z) =
x 2 + y 2 + z 2
au point O, posons f (r, t) = w(x, y, z, t) : la fonction f n’a que deux variables et
w est la composée w = f ◦ g, avec g(x, y, z, t) = (
x 2 + y 2 + z 2 , t) :
R
3
× R
g
→
R × R
(x, y, z, t) → (
x 2 + y 2 + z 2 , t)
R × R
f
→
R
(r, t) → f (r, t)
2) Posons f (x,y) =
xy
x
2 + y
2
, où x et y sont des nombres réels strictement positifs : cela
définit une fonction f : E → R, où E = ]0, +∞[×]0, +∞[. En divisant numérateur
et dénominateur par y
2 , il vient f (x, y) =
x/y
(x/y)
2 + 1
= t
t
2 + 1
, où t = x/y. Ainsi
les valeurs f (x, y) ne dépendent que du rapport x/y. Si l’on définit la fonction
u : ]0, +∞[ → R en posant u(t) = t
t
2 + 1
, alors on a f (x, y) = u(x/y), autrement
dit f est la composée f = u ◦ g, où g : E → ]0, +∞[ est définie par g(x, y) = x/y.
Quand les valeurs ϕ(x,y) d’une fonction ne dépendent que du rapport x/y (comme
c’est le cas pour f ), on dit que la fonction ϕ est homogène.
3) Définissons des fonctions de R dans R en posant f (x) = x
2 et g(x) = x + 1 :
on a g
f (x)
= x
2 + 1 et f
g(x)
= (x + 1)
2 , donc f ◦ g = g ◦ f . Dans le cas où
les composées f ◦ g et g ◦ f sont toutes les deux définies, on voit qu’en général,
l’ordre de composition compte.
Rappelons les définitions relatives aux fonctions monotones.
14 – LES FONCTIONS