sont des nombres réels positifs, donc la fonction T est définie sur l’ensemble
]0, +∞[×]0, +∞[ des couples de nombres réels positifs.
Définition
Soit f : E → F une application. Si A est une partie de l’ensemble de départ E , l’ensemble des éléments de F de la forme f (x), où x parcourt la partie A, s’appelle
l’image de la partie A et se note f (A). L’image de l’ensemble de départ, c’est-à-dire
l’ensemble f (E) de tous les éléments de la forme f (x), s’appelle l’image de f .
L’image d’une partie de l’ensemble de départ est une partie de l’ensemble d’arrivée.
Il ne faut pas confondre
® l’image d’un élément x : c’est l’élément f (x) appartenant à l’ensemble d’arrivée,
® l’image d’une partie A : c’est une partie de l’ensemble d’arrivée.
Exemples
® Si f : R → R est la fonction x → x
2 , alors f
[2, 3[
= [4, 9[, f
[−2, 3]
= [0, 9] et
pour tout nombre a 0, on a f
[a, +∞[
= [0, +∞[ (figure 1). L’image de f est
l’intervalle [0, +∞[.
® L’image de la fonction sinus est le segment [−1, 1]. Puisque sinus a pour période 2π, on obtient toute l’image en prenant seulement les valeurs sin x quand
x parcourt un intervalle de longueur 2π : pour tout nombre réel a, on a donc
sin
[a, a+2π[
= [−1, 1].
® La figure 2 montre le graphe de la fonction u : R → R qui à x associe x
3
− 3x :
l’image par u de [−1, 1] est [−2, 2] et l’image de l’application u est R.
® Définissons une fonction g : R
2
→ R
2 en posant g(x, y) = (x
2 + 1, e
y ). Les nombres
de la forme x
2 + 1 sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 1 ; les nombres
qui peuvent s’écrire e
y sont les nombres strictement positifs : l’image de g est
donc la partie [1, +∞[×]0, +∞[ de R
2 (figure 3).
f
2 3
1
4
9
−2
−3
x
figure 1
2
1
−2
−1
x
figure 2
1
g(R
2 )
x
y
figure 3
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 13