3. Les fonctions
3.1 Notion générale de fonction
Soient E et F des ensembles. Une application ou une fonction de E dans F est une
règle qui permet d’associer à chaque élément x ∈ E un élément parfaitement déterminé de F . Il est souvent utile de nommer la fonction : lorsqu’on a défini une
fonction f de E dans F , on note f (x) l’élément de F associé à x par la fonction
et l’on dit que f (x) est l’image de x par la fonction f . La fonction elle-même se
note f : E → F ou encore x → f (x) ; l’ensemble E s’appelle l’ensemble de départ ou
le domaine de définition de f ; l’ensemble F est l’ensemble d’arrivée de f .
Égalité de deux fonctions. Des fonctions f et g sont égales si et seulement si
elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée et si l’on a
f (x) = g(x) pour tout x appartenant à l’ensemble de départ.
Fonction constante. Une fonction f : E → F est constante si l’on a f (x) = f (y)
pour tous éléments x et y appartenant à E ; il revient au même de dire qu’il existe
un élément b ∈ F tel que f (x) = b quel que soit x ∈ E .
Exemples
1)
u
1 2
1
v
/
f + (u)
f − (u)
Supposons que des variables réelles u et v sont liées par la relation u
2 + 4v
2 = 1.
Si l’on calcule v en fonction de u, on obtient
la formule v = ± 1
2
√
1 − u 2 , valable pour les valeurs de u telles que −1 u 1. Cela permet
de définir deux fonctions exprimant v au moyen
de u : la fonction f + : [−1, 1] → R définie par
f + (u) = 1
2
√
1 − u 2 et la fonction f − : [−1, 1] → R
définie par f − (u) = − 1
2
√
1 − u 2 . Mais la relation
u
2 + 4v
2 = 1 ne définit pas v comme fonction de u, car à une valeur de u
appartenant à ]−1, 1[ correspond deux valeurs opposées de v.
2) Notons P la pression, V le volume et T la température absolue d’une masse
gazeuse donnée. En première approximation, le rapport P V
T
reste égal à une
constante k. Cette relation permet de définir plusieurs fonctions.
® Si le volume V reste constant, la pression est fonction de la température selon
la loi T → P (T ) définie par P (T ) = (k/V )T . Les quantités P (T ) et T sont alors
proportionnelles : on dit que la fonction P est linéaire.
® `
A température constante, la pression est fonction du volume : cela définit une
fonction p : V → kT
V
. Les quantités p(V ) et V sont inversement proportionnelles.
® La température est fonction à la fois du volume et de la pression, ce qui définit la fonction de deux variables T : (P, V ) → P V
k
; les quantités P et V
12 – LES FONCTIONS
3.1 Notion générale de fonction
Soient E et F des ensembles. Une application ou une fonction de E dans F est une
règle qui permet d’associer à chaque élément x ∈ E un élément parfaitement déterminé de F . Il est souvent utile de nommer la fonction : lorsqu’on a défini une
fonction f de E dans F , on note f (x) l’élément de F associé à x par la fonction
et l’on dit que f (x) est l’image de x par la fonction f . La fonction elle-même se
note f : E → F ou encore x → f (x) ; l’ensemble E s’appelle l’ensemble de départ ou
le domaine de définition de f ; l’ensemble F est l’ensemble d’arrivée de f .
Égalité de deux fonctions. Des fonctions f et g sont égales si et seulement si
elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée et si l’on a
f (x) = g(x) pour tout x appartenant à l’ensemble de départ.
Fonction constante. Une fonction f : E → F est constante si l’on a f (x) = f (y)
pour tous éléments x et y appartenant à E ; il revient au même de dire qu’il existe
un élément b ∈ F tel que f (x) = b quel que soit x ∈ E .
Exemples
1)
u
1 2
1
v
/
f + (u)
f − (u)
Supposons que des variables réelles u et v sont liées par la relation u
2 + 4v
2 = 1.
Si l’on calcule v en fonction de u, on obtient
la formule v = ± 1
2
√
1 − u 2 , valable pour les valeurs de u telles que −1 u 1. Cela permet
de définir deux fonctions exprimant v au moyen
de u : la fonction f + : [−1, 1] → R définie par
f + (u) = 1
2
√
1 − u 2 et la fonction f − : [−1, 1] → R
définie par f − (u) = − 1
2
√
1 − u 2 . Mais la relation
u
2 + 4v
2 = 1 ne définit pas v comme fonction de u, car à une valeur de u
appartenant à ]−1, 1[ correspond deux valeurs opposées de v.
2) Notons P la pression, V le volume et T la température absolue d’une masse
gazeuse donnée. En première approximation, le rapport P V
T
reste égal à une
constante k. Cette relation permet de définir plusieurs fonctions.
® Si le volume V reste constant, la pression est fonction de la température selon
la loi T → P (T ) définie par P (T ) = (k/V )T . Les quantités P (T ) et T sont alors
proportionnelles : on dit que la fonction P est linéaire.
® `
A température constante, la pression est fonction du volume : cela définit une
fonction p : V → kT
V
. Les quantités p(V ) et V sont inversement proportionnelles.
® La température est fonction à la fois du volume et de la pression, ce qui définit la fonction de deux variables T : (P, V ) → P V
k
; les quantités P et V
12 – LES FONCTIONS