Exemple 2. En acoustique, on appelle intervalle entre deux sons le rapport de leurs
fréquences : si des fréquences f 1 , f
1 , f 2 , f
2 vérifient f 1 /f
1 = f 2 /f
2 , alors entre les sons
de fréquences f 1 et f
1 , l’oreille perçoit le même intervalle qu’entre les sons de fréquences f 2 et f
2 . Une note de musique de fréquence f s’accompagne d’harmoniques
de fréquences 2f, 3f, . . . et les notes de fréquences f et 2f sont perçues comme “les
mêmes”, jouées avec un écart d’une octave. L’intervalle entre les fréquences 2f et 3f
s’appelle une quinte. Pour créer une gamme, c’est-à-dire pour découper les octaves en
intervalles dont les multiples permettent suffisamment d’accords avec les quintes, on
est amené à chercher de petits entiers naturels p et q tels que p quintes valent à peu
près q octaves. Cette condition signifie que (3/2)
p est peu différent de 2
q , ou encore
que le rapport 2
p+q /3
p est proche de 1. En prenant le logarithme, cela se traduit par :
(p + q) ln 2 peu différent de p ln 3, ou encore ln 3
ln 2
peu différent de la fraction
p + q
p
.
Cherchons donc les premières bonnes approximations rationnelles du nombre ln 3
ln 2
.
ln 3
ln 2
= 1,58496250072115618145373894394 · · · = 1 + (1/x 1 )
x 1 = 1,70951129135145477697619026217 · · · = 1 + (1/x 2 )
x 2 = 1,40942083965320900458240433081 · · · = 1 + (1/x 3 )
x 3 = 2,44247459618085927548717403238 · · · = 2 + (1/x 4 )
x 4 = 2,26001675267082453593127612260 · · · = 2 + (1/x 5 )
x 5 = 3,84590604154639953522819708395 · · · = 3 + (1/x 6 ) , où x 6 > 1
d’où les approximations suivantes de ln 3
ln 2
:
b 3 = 1 +
1
1 + 1
1 + 1
2
= 8
5
,
b 4 = 1 +
1
1 +
1
1 + 1
2 + 1
2
= 19
12
et
b 5 = 65
41
.
Avec l’approximation 8
5
, on obtient une gamme où cinq quintes sont équivalentes à
trois octaves. Si f 0 est la fréquence de base d’une octave, on montre que les notes
successives ont pour fréquence f 0 , f 1 = 9
8
f 0 , f 2 = 4
3
f 0 , f 3 = 3
2
f 0 , f 4 = 16
9
f 0 : il y a
donc cinq notes par octave. Entre deux sons successifs, il n’y a que deux intervalles
possibles, car f 1 /f 0 = f 3 /f 2 = 2f 0 /f 4 = 9/8 et f 2 /f 1 = f 4 /f 3 = 32/27 ; ces notes correspondent à peu près aux touches noires du piano.
Avec l’approximation 19
12
, on obtient une gamme chromatique, plus riche, où douze
quintes valent sept octaves ; elle contient douze notes.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 11
fréquences : si des fréquences f 1 , f
1 , f 2 , f
2 vérifient f 1 /f
1 = f 2 /f
2 , alors entre les sons
de fréquences f 1 et f
1 , l’oreille perçoit le même intervalle qu’entre les sons de fréquences f 2 et f
2 . Une note de musique de fréquence f s’accompagne d’harmoniques
de fréquences 2f, 3f, . . . et les notes de fréquences f et 2f sont perçues comme “les
mêmes”, jouées avec un écart d’une octave. L’intervalle entre les fréquences 2f et 3f
s’appelle une quinte. Pour créer une gamme, c’est-à-dire pour découper les octaves en
intervalles dont les multiples permettent suffisamment d’accords avec les quintes, on
est amené à chercher de petits entiers naturels p et q tels que p quintes valent à peu
près q octaves. Cette condition signifie que (3/2)
p est peu différent de 2
q , ou encore
que le rapport 2
p+q /3
p est proche de 1. En prenant le logarithme, cela se traduit par :
(p + q) ln 2 peu différent de p ln 3, ou encore ln 3
ln 2
peu différent de la fraction
p + q
p
.
Cherchons donc les premières bonnes approximations rationnelles du nombre ln 3
ln 2
.
ln 3
ln 2
= 1,58496250072115618145373894394 · · · = 1 + (1/x 1 )
x 1 = 1,70951129135145477697619026217 · · · = 1 + (1/x 2 )
x 2 = 1,40942083965320900458240433081 · · · = 1 + (1/x 3 )
x 3 = 2,44247459618085927548717403238 · · · = 2 + (1/x 4 )
x 4 = 2,26001675267082453593127612260 · · · = 2 + (1/x 5 )
x 5 = 3,84590604154639953522819708395 · · · = 3 + (1/x 6 ) , où x 6 > 1
d’où les approximations suivantes de ln 3
ln 2
:
b 3 = 1 +
1
1 + 1
1 + 1
2
= 8
5
,
b 4 = 1 +
1
1 +
1
1 + 1
2 + 1
2
= 19
12
et
b 5 = 65
41
.
Avec l’approximation 8
5
, on obtient une gamme où cinq quintes sont équivalentes à
trois octaves. Si f 0 est la fréquence de base d’une octave, on montre que les notes
successives ont pour fréquence f 0 , f 1 = 9
8
f 0 , f 2 = 4
3
f 0 , f 3 = 3
2
f 0 , f 4 = 16
9
f 0 : il y a
donc cinq notes par octave. Entre deux sons successifs, il n’y a que deux intervalles
possibles, car f 1 /f 0 = f 3 /f 2 = 2f 0 /f 4 = 9/8 et f 2 /f 1 = f 4 /f 3 = 32/27 ; ces notes correspondent à peu près aux touches noires du piano.
Avec l’approximation 19
12
, on obtient une gamme chromatique, plus riche, où douze
quintes valent sept octaves ; elle contient douze notes.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 11