Les deux premières lignes donnent a = a 0 + 1
x 1
= a 0 +
1
a 1 + 1
x 2
et l’on obtient ensuite
les expressions suivantes, appelées développement de a en fractions continuées :
a = a 0 +
1
a 1 +
1
a 2 + 1
x 3
,
a= a 0 +
1
a 1 +
1
a 2 +
1
a 3 + 1
x 4
Les nombres a i sont des entiers positifs et les x i sont des nombres réels plus grand
que 1. Tronquons ces expressions en posant
b 0 = a 0 , b 1 = a 0 + 1
a 1
, b 2 = a 0 +
1
a 1 + 1
a 2
, · · ·
Les nombres b 0 , b 1 , b 2 , . . . sont rationnels, car la somme et le produit de deux rationnels est rationnel et l’inverse d’un rationnel non nul est rationnel. On démontre
que la suite des nombres b n a pour limite a. Posons b n =
p n
q n
, où p n et q n sont des
entiers. Ces fractions ont une propriété remarquable : parmi les fractions
p
q
telles
que q q n , la fraction b n =
p n
q n
est la plus proche de a. En ce sens, les rationnels
p n
q n
constituent la meilleure approximation du nombre a par des fractions. Ce qualificatif
exprime que l’approximation est bonne bien que le dénominateur soit petit.
Exemple 1. Pour le nombre π, on a les égalités :
π = 3 + 1
x 1
,
où x 1 = 7,06251330593104576979300515255 · · ·
x 1 = 7 + 1
x 2
,
où x 2 = 15,9965944066857198889230604100 · · ·
x 2 = 15 + 1
x 3
,
où x 3 = 1,00341723101337260346414717001 · · ·
x 3 = 1 + 1
x 4
,
où x 4 = 292,634591014395472378544147738 · · ·
d’où les meilleures approximations rationnelles de π :
b 0 = 3
b 1 = 3+ 1
7
= 22
7
3,142 · · · (les deux premières décimales sont celles de π)
b 2 = 3+ 1
7+ 1
15
= 3+ 15
106
= 333
106
3,14150 · · · (quatre décimales exactes)
b 3 = 3+
1
7+ 1
15+ 1
1
= 3+ 16
113
= 355
113
3,1415929 · · · (six décimales exactes).
10 – LES NOMBRES
x 1
= a 0 +
1
a 1 + 1
x 2
et l’on obtient ensuite
les expressions suivantes, appelées développement de a en fractions continuées :
a = a 0 +
1
a 1 +
1
a 2 + 1
x 3
,
a= a 0 +
1
a 1 +
1
a 2 +
1
a 3 + 1
x 4
Les nombres a i sont des entiers positifs et les x i sont des nombres réels plus grand
que 1. Tronquons ces expressions en posant
b 0 = a 0 , b 1 = a 0 + 1
a 1
, b 2 = a 0 +
1
a 1 + 1
a 2
, · · ·
Les nombres b 0 , b 1 , b 2 , . . . sont rationnels, car la somme et le produit de deux rationnels est rationnel et l’inverse d’un rationnel non nul est rationnel. On démontre
que la suite des nombres b n a pour limite a. Posons b n =
p n
q n
, où p n et q n sont des
entiers. Ces fractions ont une propriété remarquable : parmi les fractions
p
q
telles
que q q n , la fraction b n =
p n
q n
est la plus proche de a. En ce sens, les rationnels
p n
q n
constituent la meilleure approximation du nombre a par des fractions. Ce qualificatif
exprime que l’approximation est bonne bien que le dénominateur soit petit.
Exemple 1. Pour le nombre π, on a les égalités :
π = 3 + 1
x 1
,
où x 1 = 7,06251330593104576979300515255 · · ·
x 1 = 7 + 1
x 2
,
où x 2 = 15,9965944066857198889230604100 · · ·
x 2 = 15 + 1
x 3
,
où x 3 = 1,00341723101337260346414717001 · · ·
x 3 = 1 + 1
x 4
,
où x 4 = 292,634591014395472378544147738 · · ·
d’où les meilleures approximations rationnelles de π :
b 0 = 3
b 1 = 3+ 1
7
= 22
7
3,142 · · · (les deux premières décimales sont celles de π)
b 2 = 3+ 1
7+ 1
15
= 3+ 15
106
= 333
106
3,14150 · · · (quatre décimales exactes)
b 3 = 3+
1
7+ 1
15+ 1
1
= 3+ 16
113
= 355
113
3,1415929 · · · (six décimales exactes).
10 – LES NOMBRES