® Si a et b sont des nombres réels, on définit de manière analogue les intervalles
]a, b], [a, b[, ]a, +∞[, [a, +∞[, ]−∞, b[, ]−∞, b] et l’on pose ]−∞, +∞[ = R.
Voici les principales règles de calcul sur les inégalités entre nombres réels :
a < b si et seulement si a + x < b + x
si a < b et a
b
, alors a + a
< b + b
si x > 0, alors on a : a < b si et seulement si ax < bx
si x < 0, alors on a : a < b si et seulement si bx < ax
pour des nombres a et b de même signe, on a : a < b si et seulement si 1/b < 1/a.
2.5 Les nombres rationnels
On appelle nombre rationnel le résultat de la division d’un nombre entier par un (autre)
nombre entier non nul. Tout nombre décimal est rationnel, mais le nombre rationnel
4/3 = 1,33 · · · 3 · · · n’est pas décimal puisqu’il a une infinité de décimales non nulles.
L’ensemble des nombres rationnels se note Q. On a donc les inclusions d’ensembles
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
On a souvent besoin d’approcher un nombre réel positif par des nombres rationnels. Si
l’écriture décimale d’un nombre réel positif a est e, c 1 c 2 · · ·c n · · ·, alors en ne retenant
que les k premières décimales, on obtient des nombres décimaux a[k] = e, c 1 c 2 · · · c k
vérifiant a[k] a < a[k] + 10
−k : chaque nombre décimal a[k] approche a à 10
−k
près. Posons u k = 10
k (0, c 1 c 2 · · · c k ) = c 1 c 2 · · · c k . Le nombre u k est un entier et l’on
a a[k] = e + 0, c 1 c 2 · · · c k =
10
k e + u k
10
k
. L’approximation décimale à 10
−k près est donc
en général une fraction dont le dénominateur est 10
k .
Meilleure approximation d'un nombre réel par des rationnels
Décrivons, sans la justifier, une méthode pour trouver des nombres rationnels à petits
dénominateurs qui approchent rapidement un nombre réel a > 0. On suppose a non
rationnel.
Posons a 0 = E(a). Puisque a n’est pas entier, le nombre a − a 0 n’est pas nul et l’on
peut définir un nombre x 1 en posant a = a 0 + 1
x 1
. Puisqu’on a 0 < a − a 0 < 1, il vient
x 1 > 1. Le nombre x 1 n’est pas entier, sinon a serait rationnel comme somme d’un
entier et d’un rationnel. En posant a 1 = E(x 1 ), on a donc 0 < x 1 − a 1 < 1 et l’on peut
définir un nombre x 2 > 1 tel que x 1 = a 1 + 1
x 2
. On continue ainsi, selon l’algorithme :
a = a 0 + 1
x 1
, où a 0 = E(a)
x 1 = a 1 + 1
x 2
, où a 1 = E(x 1 )
. . .
. . .
x n = a n + 1
x n+1
, où a n = E(x n )
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 9
]a, b], [a, b[, ]a, +∞[, [a, +∞[, ]−∞, b[, ]−∞, b] et l’on pose ]−∞, +∞[ = R.
Voici les principales règles de calcul sur les inégalités entre nombres réels :
a < b si et seulement si a + x < b + x
si a < b et a
b
, alors a + a
< b + b
si x > 0, alors on a : a < b si et seulement si ax < bx
si x < 0, alors on a : a < b si et seulement si bx < ax
pour des nombres a et b de même signe, on a : a < b si et seulement si 1/b < 1/a.
2.5 Les nombres rationnels
On appelle nombre rationnel le résultat de la division d’un nombre entier par un (autre)
nombre entier non nul. Tout nombre décimal est rationnel, mais le nombre rationnel
4/3 = 1,33 · · · 3 · · · n’est pas décimal puisqu’il a une infinité de décimales non nulles.
L’ensemble des nombres rationnels se note Q. On a donc les inclusions d’ensembles
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
On a souvent besoin d’approcher un nombre réel positif par des nombres rationnels. Si
l’écriture décimale d’un nombre réel positif a est e, c 1 c 2 · · ·c n · · ·, alors en ne retenant
que les k premières décimales, on obtient des nombres décimaux a[k] = e, c 1 c 2 · · · c k
vérifiant a[k] a < a[k] + 10
−k : chaque nombre décimal a[k] approche a à 10
−k
près. Posons u k = 10
k (0, c 1 c 2 · · · c k ) = c 1 c 2 · · · c k . Le nombre u k est un entier et l’on
a a[k] = e + 0, c 1 c 2 · · · c k =
10
k e + u k
10
k
. L’approximation décimale à 10
−k près est donc
en général une fraction dont le dénominateur est 10
k .
Meilleure approximation d'un nombre réel par des rationnels
Décrivons, sans la justifier, une méthode pour trouver des nombres rationnels à petits
dénominateurs qui approchent rapidement un nombre réel a > 0. On suppose a non
rationnel.
Posons a 0 = E(a). Puisque a n’est pas entier, le nombre a − a 0 n’est pas nul et l’on
peut définir un nombre x 1 en posant a = a 0 + 1
x 1
. Puisqu’on a 0 < a − a 0 < 1, il vient
x 1 > 1. Le nombre x 1 n’est pas entier, sinon a serait rationnel comme somme d’un
entier et d’un rationnel. En posant a 1 = E(x 1 ), on a donc 0 < x 1 − a 1 < 1 et l’on peut
définir un nombre x 2 > 1 tel que x 1 = a 1 + 1
x 2
. On continue ainsi, selon l’algorithme :
a = a 0 + 1
x 1
, où a 0 = E(a)
x 1 = a 1 + 1
x 2
, où a 1 = E(x 1 )
. . .
. . .
x n = a n + 1
x n+1
, où a n = E(x n )
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 9