a[n + 2] = (a[n + 1])
2 + 1/10 < (a[n])
2 + 1/10 = a[n + 1]. D’après le principe de récurrence, on en déduit que l’inégalité a[n + 1] < a[n] est vraie quel que soit l’entier n 1.
a[1] = 0, 2
a[2] = 0, 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0
a[3] = 0, 1 1 9 6 0 0 0 0 0 0
a[4] = 0, 1 1 4 3 0 4 1 6 0 0
a[5] = 0, 1 1 3 0 6 5 4 4 0 9
a[6] = 0, 1 1 2 7 8 3 7 9 3 9
a[7] = 0, 1 1 2 7 2 0 1 8 4 1
a[8] = 0, 1 1 2 7 0 5 8 3 9 9
a[9] = 0, 1 1 2 7 0 2 6 0 6 3
a[10] = 0, 1 1 2 7 0 1 8 7 7 4
a[11] = 0, 1 1 2 7 0 1 7 1 3 1
a[12] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 7 6 0
a[13] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 7 0
a[14] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 0
a[15] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 5
a[16] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 4
La liste ci-contre donne les premières valeurs approchées des
nombres a(n) : la limite des a[n] est le nombre réel c dont
les premières décimales sont 0,112701665· · · On peut calculer algébriquement le nombre c : en effet, faisons tendre n
vers l’infini dans l’égalité a[n+1]=(a[n])
2 +(1/10) ; puisque
a[n] tend vers c, (a[n])
2 tend vers c
2 et comme a[n + 1]
tend vers c, on obtient
c = c
2 + 1/10
ou encore c
2
− c + 1/10 = 0. L’équation du second degré
x
2
−x+1/10 a pour discriminant 1−(4/10)=3/5 et pour racines les nombres réels (1/2)(1+
3/5) et (1/2)(1−
3/5).
Puisqu’on a les inégalités
0 < c < 1/2 < (1/2)(1+
3/5) ,
on en déduit c=(1/2)(1−
3/5)=
5−
√
15
10
. On peut montrer
que
√
15 n’est pas un nombre décimal, par suite le nombre c n’est pas décimal.
Propriétés des nombres réels
L’ensemble des nombres réels se note R. Rappelons que l’on peut faire la somme, la
différence et le produit de deux nombres réels ; on peut aussi diviser par un nombre
réel non nul, ce qui a pour conséquence la règle :
si a et b sont des nombres réels tels que ab = 0, alors a = 0 ou b = 0.
L'ordre sur les nombres réels. La comparaison entre deux nombres réels se
définit comme pour les nombres décimaux : par exemple, si des nombres réels
c = 0,c 1 c 2 · · ·c k−1 c k · · · et c
= 0,c 1 c 2 · · ·c k−1 c
k · · · ne diffèrent qu’à partir de la k-ième
décimale, alors : c
c < c
si et seulement si c
− c > 0.
Si a est un nombre réel, il existe des nombres réels différents de a et aussi près
qu’on veut de a, par exemple les nombres a + 10
−n pour n assez grand. Rappelons
quelques définitions :
Définitions
® La partie entière d’un nombre réel a est l’entier (positif ou négatif) noté E(a),
tel que E(a) a < E(a) + 1.
® Soient a et b des nombres réels tels que a < b. L’intervalle ouvert ]a, b[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b. L’intervalle fermé [a, b], appelé
aussi segment, est l’ensemble des nombres réels x tels que a x b.
8 – LES NOMBRES
2 + 1/10 < (a[n])
2 + 1/10 = a[n + 1]. D’après le principe de récurrence, on en déduit que l’inégalité a[n + 1] < a[n] est vraie quel que soit l’entier n 1.
a[1] = 0, 2
a[2] = 0, 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0
a[3] = 0, 1 1 9 6 0 0 0 0 0 0
a[4] = 0, 1 1 4 3 0 4 1 6 0 0
a[5] = 0, 1 1 3 0 6 5 4 4 0 9
a[6] = 0, 1 1 2 7 8 3 7 9 3 9
a[7] = 0, 1 1 2 7 2 0 1 8 4 1
a[8] = 0, 1 1 2 7 0 5 8 3 9 9
a[9] = 0, 1 1 2 7 0 2 6 0 6 3
a[10] = 0, 1 1 2 7 0 1 8 7 7 4
a[11] = 0, 1 1 2 7 0 1 7 1 3 1
a[12] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 7 6 0
a[13] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 7 0
a[14] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 0
a[15] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 5
a[16] = 0, 1 1 2 7 0 1 6 6 5 4
La liste ci-contre donne les premières valeurs approchées des
nombres a(n) : la limite des a[n] est le nombre réel c dont
les premières décimales sont 0,112701665· · · On peut calculer algébriquement le nombre c : en effet, faisons tendre n
vers l’infini dans l’égalité a[n+1]=(a[n])
2 +(1/10) ; puisque
a[n] tend vers c, (a[n])
2 tend vers c
2 et comme a[n + 1]
tend vers c, on obtient
c = c
2 + 1/10
ou encore c
2
− c + 1/10 = 0. L’équation du second degré
x
2
−x+1/10 a pour discriminant 1−(4/10)=3/5 et pour racines les nombres réels (1/2)(1+
3/5) et (1/2)(1−
3/5).
Puisqu’on a les inégalités
0 < c < 1/2 < (1/2)(1+
3/5) ,
on en déduit c=(1/2)(1−
3/5)=
5−
√
15
10
. On peut montrer
que
√
15 n’est pas un nombre décimal, par suite le nombre c n’est pas décimal.
Propriétés des nombres réels
L’ensemble des nombres réels se note R. Rappelons que l’on peut faire la somme, la
différence et le produit de deux nombres réels ; on peut aussi diviser par un nombre
réel non nul, ce qui a pour conséquence la règle :
si a et b sont des nombres réels tels que ab = 0, alors a = 0 ou b = 0.
L'ordre sur les nombres réels. La comparaison entre deux nombres réels se
définit comme pour les nombres décimaux : par exemple, si des nombres réels
c = 0,c 1 c 2 · · ·c k−1 c k · · · et c
= 0,c 1 c 2 · · ·c k−1 c
k · · · ne diffèrent qu’à partir de la k-ième
décimale, alors : c
c < c
si et seulement si c
− c > 0.
Si a est un nombre réel, il existe des nombres réels différents de a et aussi près
qu’on veut de a, par exemple les nombres a + 10
−n pour n assez grand. Rappelons
quelques définitions :
Définitions
® La partie entière d’un nombre réel a est l’entier (positif ou négatif) noté E(a),
tel que E(a) a < E(a) + 1.
® Soient a et b des nombres réels tels que a < b. L’intervalle ouvert ]a, b[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b. L’intervalle fermé [a, b], appelé
aussi segment, est l’ensemble des nombres réels x tels que a x b.
8 – LES NOMBRES