c 1 [n] c 1 [n + 1] pour tout n N 0 . En prenant la première décimale de chaque terme,
on obtient après le rang N 0 une suite décroissante d’entiers naturels : après un certain
rang N 1 , la suite des entiers c 1 [n] est donc stationnaire à une valeur c 1 . Ainsi on a
a[N 0 ] = e, c 1 [N 0 ]c 2 [N 0 ] · · · c p [N 0 ] · · ·
. . .
. . .
a[N 1 ] = e, c 1 c 2 [N 1 ] · · · c p [N 1 ] · · ·
. . .
. . .
. . .
a[n] = e, c 1 c 2 [n] · · · c p [n] · · ·
autrement dit a[n] = e, c 1 c 2 [n] · · · c p [n] · · · pour tout n N 1 .
Pour n N 1 , l’inégalité a[n] a[n + 1] implique de même, pour les deuxièmes décimales, que l’on a c 2 [n] c 2 [n + 1] ; il y a donc un rang N 2 après lequel les deuxièmes
décimales gardent la même valeur c 2 .
D’une manière générale, pour tout entier naturel p, il existe un rang N p après lequel les
p premières décimales restent fixes : pour tout nN p , on a a[n]=e,c 1 c 2 · · ·c p c p+1 [n]· · ·,
où les chiffres c 1 , c 2 , . . . , c p ne dépendent plus de n pourvu que n N p .
Pour tout entier p 1, on définit ainsi un chiffre c p et l’on est conduit à convenir
que l’écriture e, c 1 c 2 · · · c p · · · représente un nombre c, bien que cette écriture puisse
présenter une infinité de chiffres non nuls. Le nombre c n’est pas décimal en général,
mais les nombres décimaux a[n] approchent c de mieux en mieux : en effet, pour
n N p , les deux nombres décimaux a[n] et e, c 1 c 2 · · · c p ont mêmes p premières
décimales, donc l’écart a[n] − c est moindre que 10
−p ; puisque le nombre 10
−p peut
être rendu aussi petit qu’on veut en choisissant p assez grand, on dit que la suite
des nombres a[n] a pour limite c, ce qu’on écrit sous la forme
lim
a[n]
= c
Par définition, les nombres ainsi obtenus comme limite d’une suite décroissante de
nombres décimaux positifs sont les nombres réels positifs ou nuls. Un nombre réel
possède en général une infinité de décimales non nulles : on dit que son écriture
décimale est illimitée.
Exemple. Posons a[1] = 2/10 et définissons une suite en posant
a[n + 1] =
a[n]
2 + (1/10) pour tout n 1.
Le nombre a[1] est décimal et comme la somme et le produit de deux décimaux
sont décimaux, tous les nombres a[n] sont décimaux.
Montrons que la suite des a[n] est décroissante, c’est-à-dire que l’on a a[n + 1] < a[n]
pour tout entier n1. Nous raisonnons par récurrence. Puisque a[2]=(2/10)
2 +1/10=
0,14, on a bien a[2] < a[1]. Supposons que n est un entier tel que a[n + 1] < a[n].
Puisque les nombres a[n] sont tous positifs, il vient (a[n + 1])
2 < (a[n])
2 donc
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 7
on obtient après le rang N 0 une suite décroissante d’entiers naturels : après un certain
rang N 1 , la suite des entiers c 1 [n] est donc stationnaire à une valeur c 1 . Ainsi on a
a[N 0 ] = e, c 1 [N 0 ]c 2 [N 0 ] · · · c p [N 0 ] · · ·
. . .
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a[N 1 ] = e, c 1 c 2 [N 1 ] · · · c p [N 1 ] · · ·
. . .
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a[n] = e, c 1 c 2 [n] · · · c p [n] · · ·
autrement dit a[n] = e, c 1 c 2 [n] · · · c p [n] · · · pour tout n N 1 .
Pour n N 1 , l’inégalité a[n] a[n + 1] implique de même, pour les deuxièmes décimales, que l’on a c 2 [n] c 2 [n + 1] ; il y a donc un rang N 2 après lequel les deuxièmes
décimales gardent la même valeur c 2 .
D’une manière générale, pour tout entier naturel p, il existe un rang N p après lequel les
p premières décimales restent fixes : pour tout nN p , on a a[n]=e,c 1 c 2 · · ·c p c p+1 [n]· · ·,
où les chiffres c 1 , c 2 , . . . , c p ne dépendent plus de n pourvu que n N p .
Pour tout entier p 1, on définit ainsi un chiffre c p et l’on est conduit à convenir
que l’écriture e, c 1 c 2 · · · c p · · · représente un nombre c, bien que cette écriture puisse
présenter une infinité de chiffres non nuls. Le nombre c n’est pas décimal en général,
mais les nombres décimaux a[n] approchent c de mieux en mieux : en effet, pour
n N p , les deux nombres décimaux a[n] et e, c 1 c 2 · · · c p ont mêmes p premières
décimales, donc l’écart a[n] − c est moindre que 10
−p ; puisque le nombre 10
−p peut
être rendu aussi petit qu’on veut en choisissant p assez grand, on dit que la suite
des nombres a[n] a pour limite c, ce qu’on écrit sous la forme
lim
a[n]
= c
Par définition, les nombres ainsi obtenus comme limite d’une suite décroissante de
nombres décimaux positifs sont les nombres réels positifs ou nuls. Un nombre réel
possède en général une infinité de décimales non nulles : on dit que son écriture
décimale est illimitée.
Exemple. Posons a[1] = 2/10 et définissons une suite en posant
a[n + 1] =
a[n]
2 + (1/10) pour tout n 1.
Le nombre a[1] est décimal et comme la somme et le produit de deux décimaux
sont décimaux, tous les nombres a[n] sont décimaux.
Montrons que la suite des a[n] est décroissante, c’est-à-dire que l’on a a[n + 1] < a[n]
pour tout entier n1. Nous raisonnons par récurrence. Puisque a[2]=(2/10)
2 +1/10=
0,14, on a bien a[2] < a[1]. Supposons que n est un entier tel que a[n + 1] < a[n].
Puisque les nombres a[n] sont tous positifs, il vient (a[n + 1])
2 < (a[n])
2 donc
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 7