Algorithme de calcul des décimales
initialisation : (L ← liste vide) (a ← un nombre décimal tel que 0 < a < 1) (x ← a)
boucle : tant que x = 0 :
c ← partie entière de 10x
x ← 10x − c
L ← L, c (on ajoute le chiffre c à la liste L)
L'ordre sur les décimaux. Considérons des nombres décimaux a = 0, c 1 · · · c p et
a
= 0, c
1 · · · c
p compris strictement entre 0 et 1 (on a écrit le même nombre de
décimales en ajoutant éventuellement des zéros). Supposons que a et a
diffèrent
seulement à partir de la k-ième décimale, les décimales précédentes étant égales ;
alors on a : a < a
si et seulement si c k < c
k . Par exemple, on a
0,01 = 0,01000 < 0,12339 = 0,12339000 < 0,12339001 < 0,123392 < 0,123400 .
Si deux nombres décimaux ont des parties entières différentes, le plus grand est celui
qui a la plus grande partie entière.
Densité des nombres décimaux. Si a est un nombre décimal, alors pour tout
entier naturel n, le nombre a
= a + 10
−n est décimal. En choisissant n assez grand,
l’écart a
− a = 10
−n peut être rendu aussi petit que l’on veut. Il y a donc des nombres
décimaux différents de a et aussi près qu’on veut de a.
2.4 Les nombres réels
Une définition des nombres réels
Un nombre réel est de manière naturelle une limite de nombres décimaux. Soit
a[1], a[2], . . . , a[n], . . . des nombres décimaux positifs ; leurs écritures décimales sont
de la forme
a[1] = e[1], c 1 [1]c 2 [1] · · · c p [1] · · ·
a[2] = e[2], c 1 [2]c 2 [2] · · · c p [2] · · ·
. . .
. . .
a[n] = e[n], c 1 [n]c 2 [n] · · · c p [n] · · ·
L’entier naturel e[n] est la partie entière de a[n] et les chiffres c 1 [n], c 2 [n], . . . sont les
décimales de a[n] ; on a terminé chaque écriture par des points de suspension pour
éviter de préciser le nombre de chiffres, mais chacun des nombres a[n] n’a qu’un
nombre fini de décimales non nulles.
Supposons que la suite des nombres a[1],a[2],. . .,a[n],. . . est décroissante, c’est-à-dire
que l’on a a[n] a[n + 1] > 0 pour tout n.
Les parties entières vérifient donc e[1] e[2] · · · e[n]· · · ; puisque les e[n] sont des
entiers naturels, la suite e[1],e[2],. . .,e[n],. . . finit par stationner à une valeur e, c’està-dire que pour tout entier n supérieur ou égal un certain rang N 0 , on a e[n]=e. Pour
n N 0 , on a e[n + 1] = e[n] et a[n] a[n + 1], donc les premières décimales vérifient
6 – LES NOMBRES
initialisation : (L ← liste vide) (a ← un nombre décimal tel que 0 < a < 1) (x ← a)
boucle : tant que x = 0 :
c ← partie entière de 10x
x ← 10x − c
L ← L, c (on ajoute le chiffre c à la liste L)
L'ordre sur les décimaux. Considérons des nombres décimaux a = 0, c 1 · · · c p et
a
= 0, c
1 · · · c
p compris strictement entre 0 et 1 (on a écrit le même nombre de
décimales en ajoutant éventuellement des zéros). Supposons que a et a
diffèrent
seulement à partir de la k-ième décimale, les décimales précédentes étant égales ;
alors on a : a < a
si et seulement si c k < c
k . Par exemple, on a
0,01 = 0,01000 < 0,12339 = 0,12339000 < 0,12339001 < 0,123392 < 0,123400 .
Si deux nombres décimaux ont des parties entières différentes, le plus grand est celui
qui a la plus grande partie entière.
Densité des nombres décimaux. Si a est un nombre décimal, alors pour tout
entier naturel n, le nombre a
= a + 10
−n est décimal. En choisissant n assez grand,
l’écart a
− a = 10
−n peut être rendu aussi petit que l’on veut. Il y a donc des nombres
décimaux différents de a et aussi près qu’on veut de a.
2.4 Les nombres réels
Une définition des nombres réels
Un nombre réel est de manière naturelle une limite de nombres décimaux. Soit
a[1], a[2], . . . , a[n], . . . des nombres décimaux positifs ; leurs écritures décimales sont
de la forme
a[1] = e[1], c 1 [1]c 2 [1] · · · c p [1] · · ·
a[2] = e[2], c 1 [2]c 2 [2] · · · c p [2] · · ·
. . .
. . .
a[n] = e[n], c 1 [n]c 2 [n] · · · c p [n] · · ·
L’entier naturel e[n] est la partie entière de a[n] et les chiffres c 1 [n], c 2 [n], . . . sont les
décimales de a[n] ; on a terminé chaque écriture par des points de suspension pour
éviter de préciser le nombre de chiffres, mais chacun des nombres a[n] n’a qu’un
nombre fini de décimales non nulles.
Supposons que la suite des nombres a[1],a[2],. . .,a[n],. . . est décroissante, c’est-à-dire
que l’on a a[n] a[n + 1] > 0 pour tout n.
Les parties entières vérifient donc e[1] e[2] · · · e[n]· · · ; puisque les e[n] sont des
entiers naturels, la suite e[1],e[2],. . .,e[n],. . . finit par stationner à une valeur e, c’està-dire que pour tout entier n supérieur ou égal un certain rang N 0 , on a e[n]=e. Pour
n N 0 , on a e[n + 1] = e[n] et a[n] a[n + 1], donc les premières décimales vérifient
6 – LES NOMBRES