Il est clair que tout entier relatif a est compris entre deux multiples consécutifs de
b ; précisément, il y a un unique entier q ∈ Z tel que
qb a < (q + 1)b = qb + b .
On a alors a − qb 0 et a − qb < b, donc en posant r = a − qb, il vient
a = qb + r , où 0 r < b.
L’entier q s’appelle le quotient de la division euclidienne de a par b et l’entier r
s’appelle le reste de la division. Le reste est toujours un entier positif ou nul et
strictement inférieur au diviseur b. Pour que l’entier a soit multiple de b, il faut et
il suffit que le reste de la division de a par b soit nul.
Exemple. Étant donné un entier n > 0, cherchons le reste r n de la division de 3
n
par 8. Pour les premières valeurs de n, la division de 3
n par 8 s’écrit :
si n = 1 : 3 = 0 × 8 + 3, donc r 1 = 3 ;
si n = 2 : 3
2 = 9 = 1 × 8 + 1, donc r 2 = 1 ;
si n = 3 : 3
3 = 3 × 3
2 = 3(1 × 8 + 1) = 3 × 8 + 3, donc r 3 = 3.
Il semble que les restes prennent successivement les valeurs 3 et 1. Pour vérifier
cela, il suffit de montrer que l’on a r n+2 = r n pour tout n.
La division euclidienne de 3
n par 8 s’écrit 3
n = 8q n + r n , où q n désigne le quotient.
Multiplions cette égalité par 3
2 ; il vient
3
n+2 = 3
2 3
n = 3
2 (8q n ) + 3
2 r n = 8(3
2 q n ) + 8r n + r n = 8(3
2 q n + r n ) + r n .
On en déduit que r n est aussi le reste de la division de 3
n+2 par 8, donc on a
l’égalité r n+2 = r n . Puisque r 1 = 3 et r 2 = 1, on en déduit que r n = 3 si n est impair
et que r n = 1 si n est pair.
2.3 Les nombres décimaux
Un nombre décimal est le produit d’un entier relatif et d’une puissance de 10. Par
exemple, 12 × 10
−3 = 0,012, 1234 × 10
−1 = 123,4 et (−3) × 10
2 = −300 sont des
nombres décimaux. Pour avoir les chiffres d’un nombre décimal a10
p , où a est un
entier, il suffit de décaler les chiffres de a de p places vers la gauche si l’entier p est
positif, vers la droite si p est négatif. L’écriture décimale d’un nombre décimal ne
comporte donc qu’un nombre fini de chiffres ; ce sont les unités dans l’échelle des
puissances positives ou négatives de 10. Ainsi par exemple
308705 × 10
−4 = 30,8705 = 3 × 10 + 8 × 10
−1 + 7 × 10
−2 + 5 × 10
−4 .
Un nombre décimal positif est la somme de sa partie entière et d’un nombre décimal
a tel que 0 a < 1, donc l’écriture décimale de a est de la forme a = 0, c 1 c 2 · · · c n .
Puisque 10a = c 1 , c 2 · · · c n , la première décimale c 1 est la partie entière du nombre
a 1 = 10a. Si l’on pose a 2 = 10a − c 1 , alors c 2 est la partie entière de 10a 2 . On calcule
ainsi de proche en proche les décimales selon l’algorithme suivant :
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 5
b ; précisément, il y a un unique entier q ∈ Z tel que
qb a < (q + 1)b = qb + b .
On a alors a − qb 0 et a − qb < b, donc en posant r = a − qb, il vient
a = qb + r , où 0 r < b.
L’entier q s’appelle le quotient de la division euclidienne de a par b et l’entier r
s’appelle le reste de la division. Le reste est toujours un entier positif ou nul et
strictement inférieur au diviseur b. Pour que l’entier a soit multiple de b, il faut et
il suffit que le reste de la division de a par b soit nul.
Exemple. Étant donné un entier n > 0, cherchons le reste r n de la division de 3
n
par 8. Pour les premières valeurs de n, la division de 3
n par 8 s’écrit :
si n = 1 : 3 = 0 × 8 + 3, donc r 1 = 3 ;
si n = 2 : 3
2 = 9 = 1 × 8 + 1, donc r 2 = 1 ;
si n = 3 : 3
3 = 3 × 3
2 = 3(1 × 8 + 1) = 3 × 8 + 3, donc r 3 = 3.
Il semble que les restes prennent successivement les valeurs 3 et 1. Pour vérifier
cela, il suffit de montrer que l’on a r n+2 = r n pour tout n.
La division euclidienne de 3
n par 8 s’écrit 3
n = 8q n + r n , où q n désigne le quotient.
Multiplions cette égalité par 3
2 ; il vient
3
n+2 = 3
2 3
n = 3
2 (8q n ) + 3
2 r n = 8(3
2 q n ) + 8r n + r n = 8(3
2 q n + r n ) + r n .
On en déduit que r n est aussi le reste de la division de 3
n+2 par 8, donc on a
l’égalité r n+2 = r n . Puisque r 1 = 3 et r 2 = 1, on en déduit que r n = 3 si n est impair
et que r n = 1 si n est pair.
2.3 Les nombres décimaux
Un nombre décimal est le produit d’un entier relatif et d’une puissance de 10. Par
exemple, 12 × 10
−3 = 0,012, 1234 × 10
−1 = 123,4 et (−3) × 10
2 = −300 sont des
nombres décimaux. Pour avoir les chiffres d’un nombre décimal a10
p , où a est un
entier, il suffit de décaler les chiffres de a de p places vers la gauche si l’entier p est
positif, vers la droite si p est négatif. L’écriture décimale d’un nombre décimal ne
comporte donc qu’un nombre fini de chiffres ; ce sont les unités dans l’échelle des
puissances positives ou négatives de 10. Ainsi par exemple
308705 × 10
−4 = 30,8705 = 3 × 10 + 8 × 10
−1 + 7 × 10
−2 + 5 × 10
−4 .
Un nombre décimal positif est la somme de sa partie entière et d’un nombre décimal
a tel que 0 a < 1, donc l’écriture décimale de a est de la forme a = 0, c 1 c 2 · · · c n .
Puisque 10a = c 1 , c 2 · · · c n , la première décimale c 1 est la partie entière du nombre
a 1 = 10a. Si l’on pose a 2 = 10a − c 1 , alors c 2 est la partie entière de 10a 2 . On calcule
ainsi de proche en proche les décimales selon l’algorithme suivant :
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 5