2.1 Écriture d'un entier naturel
Les chiffres d’un entier naturel représentent les unités dans l’échelle 1, 10, 10
2 , . . .
des puissances positives de 10 : par exemple, pour l’entier a = 234, on a a =
4 + 3 × 10 + 2 × 10
2 .
Voici comment retrouver les chiffres d’un entier par des opérations arithmétiques.
– Puisque a = 4 + 23 × 10, le chiffre des unités est le reste de la division de a par 10.
– L’entier a − 4 étant multiple de 10, posons a − 4 = 10a 1 , donc a 1 = (a − 4)/10 =
23 = 3 + 2 × 10 ; le chiffre des dizaines est le reste de la division de a 1 par 10.
– L’entier a 1 −3 est multiple de 10 et en posant a 1 −3=10a 2 , il vient a 2 =(a 1 −3)/10=2
qui est le chiffre des centaines.
Pour écrire un algorithme de calcul des chiffres d’un entier a > 0, introduisons une
variable x qui prendra successivement les valeurs a, a 1 , a 2 , . . . et une variable c dont
les valeurs seront les chiffres de a ; la liste L des chiffres sera composée en écrivant
de droite à gauche.
Algorithme de calcul des chiffres
initialisation : (L ← liste vide) (a ← un entier positif) (x ← a) (b ← 10)
boucle : tant que x = 0 :
c ← reste de la division de x par b
x ← quotient de x − c par b
L ← c, L (on ajoute le chiffre c en tête de la liste L)
Si au lieu de 10, on choisit pour b un entier naturel quelconque supérieur ou égal
à 2, cet algorithme calcule les chiffres de l’écriture de l’entier a en base b, c’est-à-dire
les entiers c 0 , c 1 , . . . , c n tels que
0 c i < b et a = c 0 + c 1 × b + c 2 × b
2 + · · · + c n × b
n .
La base 2 est commode, car il n’y figure que les chiffres 0 et 1. On a par exemple
13 = 1 + 2
2 + 2
3 et 34 = 2 + 2
5
donc, en base 2, ces nombres s’écrivent : 13 = [1101] et 34 = [100010].
2.2 Les entiers relatifs
Un entier relatif est un entier positif ou négatif ou nul. Dans l’ensemble Z des entiers
relatifs, on peut donc ajouter, soustraire et multiplier.
Division euclidienne. Une autre opération essentielle qu’on peut effectuer avec
des entiers relatifs, c’est la division avec reste, encore appelée division euclidienne.
Rappelons la définition de la division par un entier b > 0.
Écrivons dans l’ordre les multiples entiers de b :
. . . , −2b , −b , 0 , b , 2b , . . . , qb , . . . où q ∈ Z.
4 – LES NOMBRES
Les chiffres d’un entier naturel représentent les unités dans l’échelle 1, 10, 10
2 , . . .
des puissances positives de 10 : par exemple, pour l’entier a = 234, on a a =
4 + 3 × 10 + 2 × 10
2 .
Voici comment retrouver les chiffres d’un entier par des opérations arithmétiques.
– Puisque a = 4 + 23 × 10, le chiffre des unités est le reste de la division de a par 10.
– L’entier a − 4 étant multiple de 10, posons a − 4 = 10a 1 , donc a 1 = (a − 4)/10 =
23 = 3 + 2 × 10 ; le chiffre des dizaines est le reste de la division de a 1 par 10.
– L’entier a 1 −3 est multiple de 10 et en posant a 1 −3=10a 2 , il vient a 2 =(a 1 −3)/10=2
qui est le chiffre des centaines.
Pour écrire un algorithme de calcul des chiffres d’un entier a > 0, introduisons une
variable x qui prendra successivement les valeurs a, a 1 , a 2 , . . . et une variable c dont
les valeurs seront les chiffres de a ; la liste L des chiffres sera composée en écrivant
de droite à gauche.
Algorithme de calcul des chiffres
initialisation : (L ← liste vide) (a ← un entier positif) (x ← a) (b ← 10)
boucle : tant que x = 0 :
c ← reste de la division de x par b
x ← quotient de x − c par b
L ← c, L (on ajoute le chiffre c en tête de la liste L)
Si au lieu de 10, on choisit pour b un entier naturel quelconque supérieur ou égal
à 2, cet algorithme calcule les chiffres de l’écriture de l’entier a en base b, c’est-à-dire
les entiers c 0 , c 1 , . . . , c n tels que
0 c i < b et a = c 0 + c 1 × b + c 2 × b
2 + · · · + c n × b
n .
La base 2 est commode, car il n’y figure que les chiffres 0 et 1. On a par exemple
13 = 1 + 2
2 + 2
3 et 34 = 2 + 2
5
donc, en base 2, ces nombres s’écrivent : 13 = [1101] et 34 = [100010].
2.2 Les entiers relatifs
Un entier relatif est un entier positif ou négatif ou nul. Dans l’ensemble Z des entiers
relatifs, on peut donc ajouter, soustraire et multiplier.
Division euclidienne. Une autre opération essentielle qu’on peut effectuer avec
des entiers relatifs, c’est la division avec reste, encore appelée division euclidienne.
Rappelons la définition de la division par un entier b > 0.
Écrivons dans l’ordre les multiples entiers de b :
. . . , −2b , −b , 0 , b , 2b , . . . , qb , . . . où q ∈ Z.
4 – LES NOMBRES