1.2 Opérations sur les parties d'un ensemble
Intersection de parties. Soient A et B des parties d’un ensemble E . Les éléments
de E qui appartiennent à la fois à A et à B forment une partie de E appelée
intersection de A et B et notée A ∩ B. On a donc A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}
et aussi les relations d’inclusion A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B.
Si aucun élément de E n’appartient à l’intersection de A et B, on dit que la partie
A ∩ B est vide et l’on écrit A ∩ B = ∅. Le symbole ∅ désigne l’ensemble qui n’a
aucun élément.
Réunion de parties. A et B étant des parties de E , l’ensemble des éléments de E
qui appartiennent à A ou à B est une partie de E appelée réunion de A et B et
notée A ∪ B. On a les inclusions A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B.
Complémentaire d'une partie. Si A est une partie de E , l’ensemble des éléments
de E qui n’appartiennent pas à A s’appelle le complémentaire de A et se note
E \ A. On a les relations A ∪ (E \ A) = E et A ∩ (E \ A) = ∅.
Exemple 5. Donnons-nous deux points distincts P et Q dans
P
Q
I
R
D
H
H
( P Q R )
l’espace euclidien et considérons l’ensemble H des points
de l’espace qui sont équidistants de P et Q : c’est le
plan passant par le milieu I du segment P Q et
perpendiculaire à la droite (P Q). Le plan
H s’appelle le plan médiateur de P Q. Soit
R un autre point de l’espace différent de P
et de Q et soit H
le plan médiateur de QR. Si
les points P, Q, R ne sont pas alignés, l’intersection
des plans H et H
est une droite D perpendiculaire
au plan (P QR). Cette droite coupe le plan (P QR) en un point équidistant de P , Q
et R, c’est-à-dire au centre du cercle circonscrit au triangle P QR. Si les points P, Q, R
sont alignés, les plans H et H
sont parallèles et H ∩ H
est l’ensemble vide.
Exemple 6.
D
D
Dans un plan euclidien, donnons-nous deux
droites sécantes D et D
. L’ensemble des points du plan
équidistants de D et D
est la réunion des deux bissectrices
de l’angle formé par D et D
.
2. Les nombres
On exprime souvent un nombre par son écriture décimale. Pour un nombre entier
ou décimal, il n’y a qu’un nombre fini de chiffres, alors qu’un nombre réel possède
en général une écriture décimale illimitée.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 3
Intersection de parties. Soient A et B des parties d’un ensemble E . Les éléments
de E qui appartiennent à la fois à A et à B forment une partie de E appelée
intersection de A et B et notée A ∩ B. On a donc A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}
et aussi les relations d’inclusion A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B.
Si aucun élément de E n’appartient à l’intersection de A et B, on dit que la partie
A ∩ B est vide et l’on écrit A ∩ B = ∅. Le symbole ∅ désigne l’ensemble qui n’a
aucun élément.
Réunion de parties. A et B étant des parties de E , l’ensemble des éléments de E
qui appartiennent à A ou à B est une partie de E appelée réunion de A et B et
notée A ∪ B. On a les inclusions A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B.
Complémentaire d'une partie. Si A est une partie de E , l’ensemble des éléments
de E qui n’appartiennent pas à A s’appelle le complémentaire de A et se note
E \ A. On a les relations A ∪ (E \ A) = E et A ∩ (E \ A) = ∅.
Exemple 5. Donnons-nous deux points distincts P et Q dans
P
Q
I
R
D
H
H
( P Q R )
l’espace euclidien et considérons l’ensemble H des points
de l’espace qui sont équidistants de P et Q : c’est le
plan passant par le milieu I du segment P Q et
perpendiculaire à la droite (P Q). Le plan
H s’appelle le plan médiateur de P Q. Soit
R un autre point de l’espace différent de P
et de Q et soit H
le plan médiateur de QR. Si
les points P, Q, R ne sont pas alignés, l’intersection
des plans H et H
est une droite D perpendiculaire
au plan (P QR). Cette droite coupe le plan (P QR) en un point équidistant de P , Q
et R, c’est-à-dire au centre du cercle circonscrit au triangle P QR. Si les points P, Q, R
sont alignés, les plans H et H
sont parallèles et H ∩ H
est l’ensemble vide.
Exemple 6.
D
D
Dans un plan euclidien, donnons-nous deux
droites sécantes D et D
. L’ensemble des points du plan
équidistants de D et D
est la réunion des deux bissectrices
de l’angle formé par D et D
.
2. Les nombres
On exprime souvent un nombre par son écriture décimale. Pour un nombre entier
ou décimal, il n’y a qu’un nombre fini de chiffres, alors qu’un nombre réel possède
en général une écriture décimale illimitée.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 3