Exemple 1. Notons E l’ensemble des nombres entiers compris entre −5/2 et
11/3. Les nombres 2 et 3 appartiennent à l’ensemble E , alors que −3 n’y appartient
pas : on a donc les relations 2 ∈ E et −3 ∈ E . Les éléments de l’ensemble E sont
exactement les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3 : pour exprimer cela, on écrit la liste
des éléments entre accolades, sous la forme E = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Exemple 2. Un nombre entier positif ou nul s’appelle un entier naturel et l’ensemble
de tous les entiers naturels se note N. Par exemple, 168/6 ∈ N, 168/9 n’est pas un
entier naturel et pour tout entier n1, le nombre (1+
√
5)
n +(1−
√
5)
n appartient à N.
Exemple 3. Un nombre entier positif ou négatif ou nul, s’appelle un entier relatif et l’ensemble des entiers relatifs se note Z. On a donc N = {x ∈ Z | x 0} et
{x ∈ Z | 0 < x
2 < 16} = {−3, −2, −1, 1, 2, 3}. L’ensemble E de l’exemple 1 est une
partie de Z et l’on a E = {x ∈ Z | 0 x + 2 5}.
Définition
Soient E et F des ensembles. La donnée d’un élément x appartenant à E et d’un
élément y appartenant à F s’appelle un couple et se note (x, y) ; la règle d’égalité
est : (x, y) = (x
, y
) si et seulement si x = x
et y = y
. L’ensemble de ces couples
se note E × F et s’appelle le produit cartésien des ensembles E et F .
Exemples 4. On utilise souvent des couples de nombres.
® Les couples (1, 2) et (2, 1) sont deux éléments différents appartenant à l’ensemble
N × N.
® L’ensemble des nombres réels se note R. Les couples (x, y) de nombres réels sont
les éléments de l’ensemble R × R = R
2 . Dans un plan muni d’axes, tout point est
repéré par le couple (x, y) de ses coordonnées.
On définit de même les triplets (x, y, z) de nombres réels : leur ensemble se note
R
3 . Si l’on se donne un repère de l’espace, chaque point possède trois coordonnées :
les triplets de nombres réels permettent de repérer les points de l’espace.
® Voici des ensembles de couples de nombres réels : la figure de gauche représente
le graphe d’une fonction f , celle de droite l’intérieur d’une ellipse (voir page 22).
{(x, y) ∈ R
2 | y = f (x
x
)}
y = f (x)
{(x, y
y
) ∈ R
2 | |x
x
| 3 , |y| 1} {(x, y) ∈ R
2 | x
2 + 4y
2 4}
(3, 1)
(−3, −1)
y
x
2 – LANGAGE ET NOTATIONS POUR UTILISER LES ENSEMBLES
11/3. Les nombres 2 et 3 appartiennent à l’ensemble E , alors que −3 n’y appartient
pas : on a donc les relations 2 ∈ E et −3 ∈ E . Les éléments de l’ensemble E sont
exactement les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3 : pour exprimer cela, on écrit la liste
des éléments entre accolades, sous la forme E = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Exemple 2. Un nombre entier positif ou nul s’appelle un entier naturel et l’ensemble
de tous les entiers naturels se note N. Par exemple, 168/6 ∈ N, 168/9 n’est pas un
entier naturel et pour tout entier n1, le nombre (1+
√
5)
n +(1−
√
5)
n appartient à N.
Exemple 3. Un nombre entier positif ou négatif ou nul, s’appelle un entier relatif et l’ensemble des entiers relatifs se note Z. On a donc N = {x ∈ Z | x 0} et
{x ∈ Z | 0 < x
2 < 16} = {−3, −2, −1, 1, 2, 3}. L’ensemble E de l’exemple 1 est une
partie de Z et l’on a E = {x ∈ Z | 0 x + 2 5}.
Définition
Soient E et F des ensembles. La donnée d’un élément x appartenant à E et d’un
élément y appartenant à F s’appelle un couple et se note (x, y) ; la règle d’égalité
est : (x, y) = (x
, y
) si et seulement si x = x
et y = y
. L’ensemble de ces couples
se note E × F et s’appelle le produit cartésien des ensembles E et F .
Exemples 4. On utilise souvent des couples de nombres.
® Les couples (1, 2) et (2, 1) sont deux éléments différents appartenant à l’ensemble
N × N.
® L’ensemble des nombres réels se note R. Les couples (x, y) de nombres réels sont
les éléments de l’ensemble R × R = R
2 . Dans un plan muni d’axes, tout point est
repéré par le couple (x, y) de ses coordonnées.
On définit de même les triplets (x, y, z) de nombres réels : leur ensemble se note
R
3 . Si l’on se donne un repère de l’espace, chaque point possède trois coordonnées :
les triplets de nombres réels permettent de repérer les points de l’espace.
® Voici des ensembles de couples de nombres réels : la figure de gauche représente
le graphe d’une fonction f , celle de droite l’intérieur d’une ellipse (voir page 22).
{(x, y) ∈ R
2 | y = f (x
x
)}
y = f (x)
{(x, y
y
) ∈ R
2 | |x
x
| 3 , |y| 1} {(x, y) ∈ R
2 | x
2 + 4y
2 4}
(3, 1)
(−3, −1)
y
x
2 – LANGAGE ET NOTATIONS POUR UTILISER LES ENSEMBLES