Chapitre 1
Ensembles,
nombres et fonctions
1. Langage et notations pour utiliser les ensembles
En Mathématiques, on définit souvent des collections d’objets appelées ensembles. Voici
les notions générales et les expressions couramment employées lorsqu’on considère
des ensembles.
1.1 Éléments et parties d'un ensemble
Éléments d'un ensemble. En général, on désigne un ensemble par une lettre. Si par
exemple E désigne un ensemble, alors chaque objet a de la collection E s’appelle
un élément de E : on dit que a appartient à E et l’on exprime cette propriété en
écrivant a ∈ E . Le signe ∈ est le symbole d’appartenance. Des ensembles sont
égaux s’ils ont les mêmes éléments.
Parties d'un ensemble. Supposons que E est un ensemble. On appelle partie de E
un ensemble formé de certains éléments de E . Une partie de E est donc un ensemble A ayant la propriété suivante : tout élément de A est aussi un élément de E .
Pour exprimer que l’ensemble A est une partie de l’ensemble E , on dit aussi que A
est inclus dans E , ce que l’on note A ⊂ E . Le signe d’inclusion ⊂ ne s’écrit qu’entre
deux ensembles et ne doit pas être confondu avec le signe d’appartenance ∈.
Pour montrer que des ensembles E et F sont égaux, il faut vérifier que l’on a les
deux inclusions E ⊂ F et F ⊂ E .
Propriété caractéristique d'une partie. Supposons que l’on ait défini pour chaque
élément x de E une propriété P (x) qui peut être satisfaite ou non. L’ensemble
des éléments x ∈ E qui satisfont la propriété P (x) est une partie de E que l’on
note {x ∈ E | P (x)}, ce qui se lit “l’ensemble des éléments x appartenant à E tels
que P (x)”. Si l’on pose A = {x ∈ E | P (x)}, la propriété P s’appelle la propriété
caractéristique de A.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 1
Ensembles,
nombres et fonctions
1. Langage et notations pour utiliser les ensembles
En Mathématiques, on définit souvent des collections d’objets appelées ensembles. Voici
les notions générales et les expressions couramment employées lorsqu’on considère
des ensembles.
1.1 Éléments et parties d'un ensemble
Éléments d'un ensemble. En général, on désigne un ensemble par une lettre. Si par
exemple E désigne un ensemble, alors chaque objet a de la collection E s’appelle
un élément de E : on dit que a appartient à E et l’on exprime cette propriété en
écrivant a ∈ E . Le signe ∈ est le symbole d’appartenance. Des ensembles sont
égaux s’ils ont les mêmes éléments.
Parties d'un ensemble. Supposons que E est un ensemble. On appelle partie de E
un ensemble formé de certains éléments de E . Une partie de E est donc un ensemble A ayant la propriété suivante : tout élément de A est aussi un élément de E .
Pour exprimer que l’ensemble A est une partie de l’ensemble E , on dit aussi que A
est inclus dans E , ce que l’on note A ⊂ E . Le signe d’inclusion ⊂ ne s’écrit qu’entre
deux ensembles et ne doit pas être confondu avec le signe d’appartenance ∈.
Pour montrer que des ensembles E et F sont égaux, il faut vérifier que l’on a les
deux inclusions E ⊂ F et F ⊂ E .
Propriété caractéristique d'une partie. Supposons que l’on ait défini pour chaque
élément x de E une propriété P (x) qui peut être satisfaite ou non. L’ensemble
des éléments x ∈ E qui satisfont la propriété P (x) est une partie de E que l’on
note {x ∈ E | P (x)}, ce qui se lit “l’ensemble des éléments x appartenant à E tels
que P (x)”. Si l’on pose A = {x ∈ E | P (x)}, la propriété P s’appelle la propriété
caractéristique de A.
Chapitre 1 – ENSEMBLES, NOMBRES ET FONCTIONS – 1