a) Montrer que le disque est formé des points dont les coordonnées vérifient θ = 0 et
z
2 + (a − r)
2
ρ
2 . Notons Δ l’ensemble des couples (r, z) vérifiant cette inégalité.
b) Montrer que V = 2π
Δ
r dr dz. En déduire V = 2π
ρ
−ρ
v(z)
u(z)
r dr
dz, où
u(z) = a −
ρ 2 −z 2 et v(z) = a +
ρ 2 −z 2 .
c) Montrer que V = 2aπ
2 ρ
2 .
3
@ . Aire d'une surface torique. Reprenons les notations de l’exercice précédent et appelons
S la surface du tore.
a) Pour tout point M du plan xOz, notons u l’angle
Ox,
− − − − − − − →
OM . Montrer que le
bord du disque D est formé des points tels que x = a + ρ cos u et z = ρ sin u.
En déduire que S est formée des points M (u, θ) de coordonnées cartésiennes
x = (a + ρ cos u) cos θ, y = (a + ρ cos u)sinθ, z = ρ sin u, où 0 u 2π et 0 θ 2π.
b) Calculer les vecteurs ∂M
∂u
et ∂M
∂θ
et montrer que l’élément d’aire est
ρ(a + ρ cos u) du dθ. En déduire que l’aire du tore est 4π
2 ρa.
4
@ . Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur [0, 1].
On pose M = max{X,Y } et m = min{X,Y }. Soit t un nombre compris entre 0 et 1.
a) Montrer que l’on a P (M < t) = t
2 et que l’espérance de M est 2/3. Montrer que
P (m
(M
c) On pose D = M − m. Montrer que P (D < t) = 2
D
du dv, où D = { (u, v) | 0 u
1 et u−t v u}. En déduire que P (D < t) = t(2−t). Quelle est l’espérance de D ?
d) On pose Q = m/M . Montrer que P (Q < t) = 2
Δ
du dv, où Δ = { (u, v) | 0 u
1 et v tu }. En déduire que P (Q < t) = t.
5
@ .
engrais A
1 2 3 4 5
17 12 25 28 22
engrais B
6 7 8 9 10 11
23 29 19 25 15 27
On fait un essai d’engrais sur
onze parcelles de terrain : sur
les cinq premières, on met l’engrais A et sur les six dernières,
l’engrais B. Le tableau ci-contre
donne les rendements observés.
On veut savoir à quel risque on peut affirmer que B a un meilleur rendement que
A. Pour cela, considérons les rendements respectifs comme des variables aléatoires
R A et R B et faisons l’hypothèse que ces variables sont indépendantes et qu’ils suivent une loi normale. Notons M A et M B les rendements moyens de A et de B (ce
sont aussi des variables aléatoires).
a) Calculer l’espérance empirique m A et la variance empirique v A de R A . Calculer
de même l’espérance empirique m B et la variance empirique v B de R B . (On
trouve m A = 20,8, v A = (5/4) × 32,56, m B = 23 et v B = (6/5) × 22,66.)
412 – EXERCICES
z
2 + (a − r)
2
ρ
2 . Notons Δ l’ensemble des couples (r, z) vérifiant cette inégalité.
b) Montrer que V = 2π
Δ
r dr dz. En déduire V = 2π
ρ
−ρ
v(z)
u(z)
r dr
dz, où
u(z) = a −
ρ 2 −z 2 et v(z) = a +
ρ 2 −z 2 .
c) Montrer que V = 2aπ
2 ρ
2 .
3
@ . Aire d'une surface torique. Reprenons les notations de l’exercice précédent et appelons
S la surface du tore.
a) Pour tout point M du plan xOz, notons u l’angle
Ox,
− − − − − − − →
OM . Montrer que le
bord du disque D est formé des points tels que x = a + ρ cos u et z = ρ sin u.
En déduire que S est formée des points M (u, θ) de coordonnées cartésiennes
x = (a + ρ cos u) cos θ, y = (a + ρ cos u)sinθ, z = ρ sin u, où 0 u 2π et 0 θ 2π.
b) Calculer les vecteurs ∂M
∂u
et ∂M
∂θ
et montrer que l’élément d’aire est
ρ(a + ρ cos u) du dθ. En déduire que l’aire du tore est 4π
2 ρa.
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@ . Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur [0, 1].
On pose M = max{X,Y } et m = min{X,Y }. Soit t un nombre compris entre 0 et 1.
a) Montrer que l’on a P (M < t) = t
2 et que l’espérance de M est 2/3. Montrer que
P (m
(M
c) On pose D = M − m. Montrer que P (D < t) = 2
D
du dv, où D = { (u, v) | 0 u
1 et u−t v u}. En déduire que P (D < t) = t(2−t). Quelle est l’espérance de D ?
d) On pose Q = m/M . Montrer que P (Q < t) = 2
Δ
du dv, où Δ = { (u, v) | 0 u
1 et v tu }. En déduire que P (Q < t) = t.
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@ .
engrais A
1 2 3 4 5
17 12 25 28 22
engrais B
6 7 8 9 10 11
23 29 19 25 15 27
On fait un essai d’engrais sur
onze parcelles de terrain : sur
les cinq premières, on met l’engrais A et sur les six dernières,
l’engrais B. Le tableau ci-contre
donne les rendements observés.
On veut savoir à quel risque on peut affirmer que B a un meilleur rendement que
A. Pour cela, considérons les rendements respectifs comme des variables aléatoires
R A et R B et faisons l’hypothèse que ces variables sont indépendantes et qu’ils suivent une loi normale. Notons M A et M B les rendements moyens de A et de B (ce
sont aussi des variables aléatoires).
a) Calculer l’espérance empirique m A et la variance empirique v A de R A . Calculer
de même l’espérance empirique m B et la variance empirique v B de R B . (On
trouve m A = 20,8, v A = (5/4) × 32,56, m B = 23 et v B = (6/5) × 22,66.)
412 – EXERCICES