et u(t) = 0 sinon, la réponse est
(u ∗ f )(t) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0
si t 1,6
t−1,6 si 1,6 < t 2,2
0,6 si 2,2 < t 2,6
3,2−t si 2,6 < t 3,2
0
si t > 3,2
1
1
u(t)
t
signal d'entrée u
1
2
3
1
t
0,6
(u ∗ f )(t)
réponse u ∗ f
1
2
1
f (t)
t
la réponse impulsionnelle f
1
1
v (t)
t
signal d'entrée v
1
2
3
1
t
(v ∗ f )(t)
réponse v ∗ f
Ces signaux d’entrée présentent des discontinuités, mais les réponses sont continues
sur R : le produit de convolution a un effet régularisant.
D’après la proposition du paragraphe précédent, la fonction u ∗ f , par exemple, est aussi
la densité de probabilité de la somme X + Y de deux variables aléatoires de densité
uniforme sur les intervalles [0,6 , 1,2] et [1, 2].
Exercices
1.
y
x
O
A
B
M
r
θ 1
θ
θ 2
Aire d'un secteur plan. On considère un secteur plan délimité par deux segments de
droites OA et OB issus de l’origine et par une courbe joignant A et B d’équation OM = r = f (θ) en coordonnées
polaires. Soit θ 1 l’angle
Ox,
− − − − − →
OA et θ 2 l’angle
Ox,
− − − − − →
OB, où
l’on suppose 0 θ 1 < θ 2 2π.
Montrer que l’aire du secteur est 1
2
θ 2
θ 1
f (θ)
2 dθ.
2.
D
ρ
a
U
O
x
y
z
r
Volume d'un tore plein. Faisons tourner un disque D de rayon ρ autour d’un axe situé
dans le plan de D et situé à une distance
a > ρ : le volume de l’espace ainsi obtenu
s’appelle un tore plein (l’intérieur d’une
chambre à air en est une bonne image).
On veut calculer le volume V ainsi obtenu. Appelons U le centre du disque,
Oz l’axe de révolution, l’origine O étant
le projeté orthogonal de U sur l’axe ;
l’axe Ox est dirigé par
− − − − − →
OU et Oy est
orthogonal au plan du disque. Le point
U a donc pour coordonnées cylindriques
(r = a, θ = 0, z = 0).
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 411