® De nombreuses mesures physiques conduisent à l’analyse d’un signal causal : c’est
une fonction u telle que u(x)=0 pour tout x<0. Si u et v sont des signaux causaux,
leur produit de convolution u ∗ v existe et l’on a (u ∗ v)(t) =
t
0
u(x)v(t − x) dx.
On a en effet v(x) = 0 si x < 0 et u(t − x) = 0 si x > t, donc u(x)v(t−x) = 0 si x
est en dehors du segment [0, t].
® Pour trois fonctions f, g, h, on a l’égalité f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h si tous les produits
de convolution existent.
Produit de convolution en théorie du signal
Un analyseur linéaire est un système électronique de traitement des signaux fonctionnant sur le mode
signal d’entrée u −→
réponse u ∗ f
La fonction f est caractéristique du dispositif. En entrée, on envoie le plus souvent
un signal causal u dont la variable est le temps.
Réponse à une impulsion. Prenons comme signal d’entrée une fonction u h constante sur le segment [a, a + h] et nulle hors de cet intervalle ; pour que le signal
d’entrée soit toujours de moyenne égale à 1, fixons 1/h comme valeur de u h sur
[a, a + h]. On a donc
(u h ∗ f )(t) =
+∞
−∞
u h (x)f (t−x) dx =
a+h
a
u h (x)f (t−x) dx = 1
h
a+h
a
f (t−x) dx
L’intégrale de droite est
ϕ(h)
h
, où ϕ(h) =
a+h
a
f (t−x) dx. Si h tend vers 0, la réponse 1
h
a+h
a
f (t − x) dx à l’instant t tend donc vers ϕ
(0) = f (t − a) : physiquement,
cela signifie que si le signal d’entrée est une impulsion unité à l’instant a, la réponse
est la fonction f a (t) = f (t − a), c’est-à-dire la fonction f affectée d’un retard a (à
l’instant t = a, sa valeur est f a (a) = f (0)).
En particulier, si l’entrée est l’impulsion unité à l’instant 0, la réponse est f : on dit
que f est la réponse impulsionnelle du système.
La réponse à une impulsion v(x) à l’instant x est le signal t → v(x)f x (t). Puisque
(v ∗f )(t) =
+∞
−∞
v(x)f x (t) dx, le produit de convolution v ∗f apparaît comme « la somme
sur x » des réponses impulsionnelles t → f x (t) pondérées par la valeur du signal à
l’instant x.
Exemple. Supposons que la réponse impulsionnelle est définie par f (x) = 1 si
1 < x < 2 et f (x) = 0 sinon. Pour le signal d’entrée défini par u(t) = 1 si 0,6 < t < 1,2
410 – PRODUIT DE CONVOLUTION
une fonction u telle que u(x)=0 pour tout x<0. Si u et v sont des signaux causaux,
leur produit de convolution u ∗ v existe et l’on a (u ∗ v)(t) =
t
0
u(x)v(t − x) dx.
On a en effet v(x) = 0 si x < 0 et u(t − x) = 0 si x > t, donc u(x)v(t−x) = 0 si x
est en dehors du segment [0, t].
® Pour trois fonctions f, g, h, on a l’égalité f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h si tous les produits
de convolution existent.
Produit de convolution en théorie du signal
Un analyseur linéaire est un système électronique de traitement des signaux fonctionnant sur le mode
signal d’entrée u −→
réponse u ∗ f
La fonction f est caractéristique du dispositif. En entrée, on envoie le plus souvent
un signal causal u dont la variable est le temps.
Réponse à une impulsion. Prenons comme signal d’entrée une fonction u h constante sur le segment [a, a + h] et nulle hors de cet intervalle ; pour que le signal
d’entrée soit toujours de moyenne égale à 1, fixons 1/h comme valeur de u h sur
[a, a + h]. On a donc
(u h ∗ f )(t) =
+∞
−∞
u h (x)f (t−x) dx =
a+h
a
u h (x)f (t−x) dx = 1
h
a+h
a
f (t−x) dx
L’intégrale de droite est
ϕ(h)
h
, où ϕ(h) =
a+h
a
f (t−x) dx. Si h tend vers 0, la réponse 1
h
a+h
a
f (t − x) dx à l’instant t tend donc vers ϕ
(0) = f (t − a) : physiquement,
cela signifie que si le signal d’entrée est une impulsion unité à l’instant a, la réponse
est la fonction f a (t) = f (t − a), c’est-à-dire la fonction f affectée d’un retard a (à
l’instant t = a, sa valeur est f a (a) = f (0)).
En particulier, si l’entrée est l’impulsion unité à l’instant 0, la réponse est f : on dit
que f est la réponse impulsionnelle du système.
La réponse à une impulsion v(x) à l’instant x est le signal t → v(x)f x (t). Puisque
(v ∗f )(t) =
+∞
−∞
v(x)f x (t) dx, le produit de convolution v ∗f apparaît comme « la somme
sur x » des réponses impulsionnelles t → f x (t) pondérées par la valeur du signal à
l’instant x.
Exemple. Supposons que la réponse impulsionnelle est définie par f (x) = 1 si
1 < x < 2 et f (x) = 0 sinon. Pour le signal d’entrée défini par u(t) = 1 si 0,6 < t < 1,2
410 – PRODUIT DE CONVOLUTION