Somme de deux variables normales indépendantes. Soient X et Y des
variables aléatoires indépendantes suivant les lois normales N (m 1 , σ 1 ) et N (m 2 , σ 2 ). Alors
X + Y suit la loi normale N (m, σ), où m = m 1 + m 2 et σ =
σ 2
1 + σ 2
2 .
Démonstration. En remplaçant X et Y par X − m 1 et Y − m 2 , on se ramène au cas
m 1 = m 2 = 0. Par définition de la loi normale (page 334) et d’après la proposition, la densité
de X + Y est dans ce cas
h(t) =
1
2πσ 1 σ 2
+∞
−∞
exp
− x
2
2σ
2
1
exp
−
(t−x)
2
2σ
2
2
dx
En développant le carré dans la seconde exponentielle, la fonction sous le signe intégrale s’écrit
exp
− t
2
2σ
2
2
exp
− x
2 σ
2
2σ
2
1 σ
2
2
exp
tx
σ
2
2
= exp
− t
2
2σ
2
2
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
exp
t
2 σ
2
1
2σ
2 σ
2
2
= exp
t
2 (σ
2
1 − σ
2 )
2σ
2 σ
2
2
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
= exp
− t
2
2σ
2
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
On a donc h(t) =
1
2πσ 1 σ 2
exp
− t
2
2σ
2
+∞
−∞
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
dx. Par le changement
de variable u = xσ, cette dernière intégrale s’écrit 1
σ
+∞
−∞
exp
−
(u−a)
2
2σ
2
1 σ
2
2
du, où a est une
constante, donc est égale à 1
σ
√
2πσ 1 σ 2 par définition de la loi de répartition normale. On
obtient ainsi l’égalité h(t) = 1
σ
√
2π
exp
− t
2
2σ
2
.
3. Produit de convolution
Définition
Soient f et g des fonctions. Si l’intégrale généralisée h(t) =
+∞
−∞
f (x)g(t − x) dx
existe, la fonction h s’appelle le produit de convolution des fonctions f et g et se
note f ∗ g.
® Si le produit de convolution de f et g existe, alors f ∗ g = g ∗ f .
Par le changement de variable u = t − x, il vient en effet
(f ∗g)(t)=
+∞
−∞
f (x)g(t−x) dx=
−∞
+∞
−f (t−u)g(u) du=
+∞
−∞
g(u)f (t−u) du=(g∗f )(t)
® Si a 1 et a 2 sont des nombres et si les produits de convolution f 1 ∗ g et f 2 ∗ g
existent, alors (a 1 f 1 + a 2 f 2 ) ∗ g = a 1 (f 1 ∗ g) + a 2 (f 2 ∗ g).
® Si l’une des fonctions f ou g vaut 0 en dehors d’un segment [a,b], alors le produit
de convolution f ∗ g existe.
En effet, si l’on a f (x) = 0 pour x hors de [a, b], l’intégrale généralisée est l’intégrale
ordinaire
b
a
f (x)g(t−x) dx.
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 409
variables aléatoires indépendantes suivant les lois normales N (m 1 , σ 1 ) et N (m 2 , σ 2 ). Alors
X + Y suit la loi normale N (m, σ), où m = m 1 + m 2 et σ =
σ 2
1 + σ 2
2 .
Démonstration. En remplaçant X et Y par X − m 1 et Y − m 2 , on se ramène au cas
m 1 = m 2 = 0. Par définition de la loi normale (page 334) et d’après la proposition, la densité
de X + Y est dans ce cas
h(t) =
1
2πσ 1 σ 2
+∞
−∞
exp
− x
2
2σ
2
1
exp
−
(t−x)
2
2σ
2
2
dx
En développant le carré dans la seconde exponentielle, la fonction sous le signe intégrale s’écrit
exp
− t
2
2σ
2
2
exp
− x
2 σ
2
2σ
2
1 σ
2
2
exp
tx
σ
2
2
= exp
− t
2
2σ
2
2
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
exp
t
2 σ
2
1
2σ
2 σ
2
2
= exp
t
2 (σ
2
1 − σ
2 )
2σ
2 σ
2
2
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
= exp
− t
2
2σ
2
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
On a donc h(t) =
1
2πσ 1 σ 2
exp
− t
2
2σ
2
+∞
−∞
exp
−
(xσ−tσ
2
1 /σ)
2
2σ
2
1 σ
2
2
dx. Par le changement
de variable u = xσ, cette dernière intégrale s’écrit 1
σ
+∞
−∞
exp
−
(u−a)
2
2σ
2
1 σ
2
2
du, où a est une
constante, donc est égale à 1
σ
√
2πσ 1 σ 2 par définition de la loi de répartition normale. On
obtient ainsi l’égalité h(t) = 1
σ
√
2π
exp
− t
2
2σ
2
.
3. Produit de convolution
Définition
Soient f et g des fonctions. Si l’intégrale généralisée h(t) =
+∞
−∞
f (x)g(t − x) dx
existe, la fonction h s’appelle le produit de convolution des fonctions f et g et se
note f ∗ g.
® Si le produit de convolution de f et g existe, alors f ∗ g = g ∗ f .
Par le changement de variable u = t − x, il vient en effet
(f ∗g)(t)=
+∞
−∞
f (x)g(t−x) dx=
−∞
+∞
−f (t−u)g(u) du=
+∞
−∞
g(u)f (t−u) du=(g∗f )(t)
® Si a 1 et a 2 sont des nombres et si les produits de convolution f 1 ∗ g et f 2 ∗ g
existent, alors (a 1 f 1 + a 2 f 2 ) ∗ g = a 1 (f 1 ∗ g) + a 2 (f 2 ∗ g).
® Si l’une des fonctions f ou g vaut 0 en dehors d’un segment [a,b], alors le produit
de convolution f ∗ g existe.
En effet, si l’on a f (x) = 0 pour x hors de [a, b], l’intégrale généralisée est l’intégrale
ordinaire
b
a
f (x)g(t−x) dx.
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 409