b) Montrer que la variance empirique de M A est σ
2
A = 1
5
2
5v A =
v A
5
et que la variance empirique de M B est σ
2
B =
v B
6
. En déduire que l’écart-type empirique de
D = M A − M B est σ =
v A
5
+
v B
6
. Quelle est l’espérance empirique de D ?
c) Montrer que la probabilité pour que D < m A −m B + bσ vaut à peu près Φ(b), où
Φ est la fonction de Gauss (page 335). Calculer b pour que m A −m B + bσ = 0. En
déduire qu’on peut accepter l’hypothèse « l’engrais B a un meilleur rendement
que l’engrais A » au risque 27% environ.
6. Produit de convolution et approximation en moyenne. Si f est une fonction continue
dont la valeur absolue |f (x)| a une intégrale généralisée de −∞ à +∞, on pose
f =
+∞
−∞
|f (x)| dx. Supposons que f et g sont de telles fonctions. Alors le produit
de convolution
|f | ∗ |g|
(t) =
+∞
−∞
|f (x)| |g(t−x)| dx existe quel que soit t, résultat
que nous admettons.
a) Montrer que
+∞
−∞
+∞
−∞
|f (x)| |g(t−x)| dx dt
R 2
|f (x)| |g(u)| dx du
(faire le changement de variable u = t−x).
b) Remarquer que |f ∗ g(t)|
+∞
−∞
|f (x)g(t−x)| dx. En déduire l’inégalité
f ∗ g f g .
c) On dit que des fonctions f n tendent en moyenne vers f si f −f n tend vers 0
quand n tend vers l’infini. En utilisant (b), montrer que si f n tend en moyenne
vers f , alors f n ∗ g tend en moyenne vers f ∗ g.
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 413