Critère d'existence. S’il existe un nombre α>2 et une constante k tels que
f (x,y)
k
r
α ,
alors I existe.
En effet, on a alors
rF (r,θ)
k
r
α−1
et α−1 > 1, donc
+∞
0
rF (r, θ) dr existe (page 325).
Exemples. Le domaine D est le quart de plan x 0, y 0.
® Si α > 1, l’intégrale généralisée
D
cos y dxdy
(x
2 + y
2 + 1)
α
existe.
En passant aux coordonnées polaires, on a en effet
f (x, y)
=
1
(r
2 + 1)
α
1
r
2α
et
l’on a 2α > 2 si α > 1.
® On a I =
D
e
−(x
2 +y
2 ) dxdy = π
4
.
En effet, I = lim
R→+∞
I R , où
I R =
π/2
0
R
0
e
−r
2 r drdθ = π
2
R
0
re
−r
2 dr = π
2
− 1
2
e
−u
R
2
0
= π
4
(1 − e
−R
2 )
® Puisque e
−(x
2 +y
2 ) = e
−x
2 e
−y
2 , on a aussi, en utilisant la propriété (d) page 399,
I =
D
e
−(x
2 +y
2 ) dxdy =
+∞
0
e
−x
2 dx
+∞
0
e
−y
2 dy
= J
2 , avec J =
+∞
0
e
−x
2 dx.
Il vient donc
+∞
0
e
−x
2 dx =
√
π
2
. Par le changement de variable x = t/
√
2, on en
déduit
+∞
0
e
−t
2 /2 dt = 1
2
√
2π et la valeur de l’intégrale de Gauss (page 333)
+∞
−∞
e
−t
2 /2 dt =
√
2π
2. Application aux probabilités
Variable aléatoire à valeurs dans R 2
Soient X et Y des variables aléatoires définies sur le même ensemble d’événements.
On note (X, Y ) la variable aléatoire dont la valeur sur tout événement ω est le
couple (x, y) =
X(ω), Y (ω)
.
La variable aléatoire (X, Y ) prend ses valeurs dans
l’ensemble R
2 des couples de nombres réels.
La fonction de répartition de la variable aléatoire V = (X, Y ) est définie par
H(x, y) = P
(X x) et (Y y)
, pour tout (x, y) ∈ R
2 .
Il s’ensuit que les variables X et Y sont indépendantes si et seulement si la fonction
de répartition de (X, Y ) est le produit F X (x)F Y (y), où F X et F Y sont les fonctions
de répartition de X et Y (définition page 335).
406 – APPLICATION AUX PROBABILIT ´
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