En coordonnées polaires, le disque D est défini par r ρ et 0 θ < 2π. On a donc
A = R
2π
0
ρ
0
1
R 2 − r 2
r dr
dθ = 2πR
ρ
0
r
R 2 − r 2
dr
Par le changement de variable u =
√
R 2 − r 2 , on a du =
−r dr
√
R 2 − r 2
, d’où
A = 2πR
−
R 2 − r 2
r=ρ
r=0
= 2πR
R −
R 2 − ρ 2
= 2πR(R − d) = 2πRh
En particulier, pour h = R, on trouve que l’hémisphère a pour surface 2πR
2 : l’aire
d’une sphère de rayon R est donc 4πR
2 .
Intégrale en coordonnées cylindriques.
M
m
O
r
θ x
y
z
Si M = (x, y, z) est un point de l’espace non situé sur l’axe Oz, les coordonnées cylindriques de M sont
(r, θ, z), où r et θ sont les coordonnées polaires du point m = (x, y)
projection de M sur le plan xOy.
Si W est l’ensemble des coordonnées cylindriques d’un domaine V
de l’espace, la formule du changement de variables s’écrit
V
f (x, y, z) dxdydz =
W
f (r cos θ, r sin θ, z) r drdθdz
Remarque
Pour le changement de variables des coordonnées sphériques, le déterminant de la
matrice jacobienne est r
2 cos ϕ (page 368).
1.3 Intégrales doubles généralisées
On doit parfois considérer l’intégrale d’une fonction f (x, y) sur un domaine non
borné, comme par exemple un quart de plan D = {(x, y) ∈ R
2
| x a et y b}.
Posons D u,v = {(x,y) | a x u,b y v}. Si les intégrales I(u,v) =
D u,v
f (x, y) dxdy
ont une limite quand u et v tendent vers +∞, cette limite est l’intégrale généralisée
D
f (x, y) dxdy.
Voici des conditions qui assurent l’existence de l’intégrale généralisée.
Pour que
D
f (x, y) dxdy existe, il suffit que pour tout x a, l’intégrale généralisée
ϕ(x) =
+∞
b
|f (x, y)| dy existe et que l’intégrale généralisée
+∞
a
ϕ(x) dx existe.
D
D
R
R
R
y
O
x
Soit f une fonction définie sur le quart de plan D = {(x, y) | x 0 et y 0}. Passons
en coordonnées polaires en posant F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) et notons
D R le secteur formé des points de D tels que r R. Si elle existe, l’intégrale généralisée I =
D
f (x, y) dxdy est la limite quand R tend vers
+∞ des intégrales I R =
D R
f (x, y) dxdy =
π/2
0
R
0
rF (r, θ)dr
dθ.
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 405
A = R
2π
0
ρ
0
1
R 2 − r 2
r dr
dθ = 2πR
ρ
0
r
R 2 − r 2
dr
Par le changement de variable u =
√
R 2 − r 2 , on a du =
−r dr
√
R 2 − r 2
, d’où
A = 2πR
−
R 2 − r 2
r=ρ
r=0
= 2πR
R −
R 2 − ρ 2
= 2πR(R − d) = 2πRh
En particulier, pour h = R, on trouve que l’hémisphère a pour surface 2πR
2 : l’aire
d’une sphère de rayon R est donc 4πR
2 .
Intégrale en coordonnées cylindriques.
M
m
O
r
θ x
y
z
Si M = (x, y, z) est un point de l’espace non situé sur l’axe Oz, les coordonnées cylindriques de M sont
(r, θ, z), où r et θ sont les coordonnées polaires du point m = (x, y)
projection de M sur le plan xOy.
Si W est l’ensemble des coordonnées cylindriques d’un domaine V
de l’espace, la formule du changement de variables s’écrit
V
f (x, y, z) dxdydz =
W
f (r cos θ, r sin θ, z) r drdθdz
Remarque
Pour le changement de variables des coordonnées sphériques, le déterminant de la
matrice jacobienne est r
2 cos ϕ (page 368).
1.3 Intégrales doubles généralisées
On doit parfois considérer l’intégrale d’une fonction f (x, y) sur un domaine non
borné, comme par exemple un quart de plan D = {(x, y) ∈ R
2
| x a et y b}.
Posons D u,v = {(x,y) | a x u,b y v}. Si les intégrales I(u,v) =
D u,v
f (x, y) dxdy
ont une limite quand u et v tendent vers +∞, cette limite est l’intégrale généralisée
D
f (x, y) dxdy.
Voici des conditions qui assurent l’existence de l’intégrale généralisée.
Pour que
D
f (x, y) dxdy existe, il suffit que pour tout x a, l’intégrale généralisée
ϕ(x) =
+∞
b
|f (x, y)| dy existe et que l’intégrale généralisée
+∞
a
ϕ(x) dx existe.
D
D
R
R
R
y
O
x
Soit f une fonction définie sur le quart de plan D = {(x, y) | x 0 et y 0}. Passons
en coordonnées polaires en posant F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) et notons
D R le secteur formé des points de D tels que r R. Si elle existe, l’intégrale généralisée I =
D
f (x, y) dxdy est la limite quand R tend vers
+∞ des intégrales I R =
D R
f (x, y) dxdy =
π/2
0
R
0
rF (r, θ)dr
dθ.
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 405