Expliquons pourquoi intervient le déterminant de la matrice jacobienne. Considérons
dans Δ un petit parallélépipède P de sommet U = (u, v, w), à côtés parallèles aux axes
et de longueurs δu, δv, δw. Les côtés de P sont donc dirigés par les vecteurs (δu, 0, 0),
(0, δv, 0), (0, 0, δw). Posons M = ϕ(U ). Par l’approximation affine de ϕ en U , un point
quelconque U
de P se transforme en M
= M + J ϕ X , où X est la colonne des coordonnées de
− − − →
UU
. En appelant J 1 , J 2 , J 3 les colonnes de la matrice jacobienne, l’image
de P est le parallélépipède Π de sommet M construit sur les vecteurs
J ϕ (U )
δu
0
0
= (δu)J 1 , J ϕ (U )
0
δv
0
= (δv)J 2 , J ϕ (U )
0
0
δw
= (δw)J 3
Puisque le volume de Π est la valeur absolue du déterminant de ces vecteurs, il vient
volume de Π =
det(J 1 , J 2 , J 3 )
δuδvδw =
det
J ϕ (U )
δuδvδw
En considérant que P et Π sont des « éléments de volume infiniment petits », l’intégrale
triple
D
f (x, y, z) dxdydz s’obtient en sommant toutes les quantités
f (M ) × volume de Π = f
ϕ(U )
det
J ϕ (U )
δuδvδw .
Intégrale double en coordonnées polaires. Rappelons que si M = (x, y) est
un point du plan différent de l’origine O, les coordonnées polaires de M sont les
nombres r = OM =
x 2 + y 2 et θ =
− − − − →
Ox,
− − − − − − − →
OM . On a donc les formules
x = r cos θ , y = r sin θ , où r > 0 et 0 θ < 2π.
Le changement de variable est ϕ(r,θ) = (r cosθ,r sinθ) et le déterminant de la matrice
jacobienne (page 368) est det J ϕ =
cos θ −r sin θ
sin θ rcos θ
= r(cos θ)
2 + r(sin θ)
2 = r.
Si D est un domaine plan et si Δ est l’ensemble des coordonnées (r, θ) des points
de D, la formule du changement de variables s’écrit
D
f (x, y) dxdy =
Δ
f (r cos θ, r sin θ) r drdθ
Exemple.
z
x
y
h
d
ρ
R
D
Sur la sphère de rayon R centrée à l’origine, découpons la calotte supérieure de hauteur h R. Son plan de
base est à la distance d = R − h de l’origine, le cercle horizontal
inférieur a pour rayon ρ =
√
R 2 − d 2 , donc la calotte est la surface d’équation z =
R 2 − x 2 − y 2 , où x
2 + y
2
ρ
2 . Calculons
l’aire A de cette calotte en utilisant la formule page 400. Les
dérivées partielles de la fonction f (x, y) =
R 2 − x 2 − y 2 sont
∂f
∂x
=
−x
R 2 − x 2 − y 2
,
∂f
∂y
=
−y
R 2 − x 2 − y 2
, donc 1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
=
R
2
R
2 − x
2 − y
2
. En appelant D le
disque du plan xOy défini par x
2 + y
2
ρ
2 , il vient
A =
D
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy = R
D
1
R 2 − x 2 − y 2
dxdy
404 – NOTION D’INT ´
EGRALE MULTIPLE ET M ´
ETHODE DE CALCUL
dans Δ un petit parallélépipède P de sommet U = (u, v, w), à côtés parallèles aux axes
et de longueurs δu, δv, δw. Les côtés de P sont donc dirigés par les vecteurs (δu, 0, 0),
(0, δv, 0), (0, 0, δw). Posons M = ϕ(U ). Par l’approximation affine de ϕ en U , un point
quelconque U
de P se transforme en M
= M + J ϕ X , où X est la colonne des coordonnées de
− − − →
UU
. En appelant J 1 , J 2 , J 3 les colonnes de la matrice jacobienne, l’image
de P est le parallélépipède Π de sommet M construit sur les vecteurs
J ϕ (U )
δu
0
0
= (δu)J 1 , J ϕ (U )
0
δv
0
= (δv)J 2 , J ϕ (U )
0
0
δw
= (δw)J 3
Puisque le volume de Π est la valeur absolue du déterminant de ces vecteurs, il vient
volume de Π =
det(J 1 , J 2 , J 3 )
δuδvδw =
det
J ϕ (U )
δuδvδw
En considérant que P et Π sont des « éléments de volume infiniment petits », l’intégrale
triple
D
f (x, y, z) dxdydz s’obtient en sommant toutes les quantités
f (M ) × volume de Π = f
ϕ(U )
det
J ϕ (U )
δuδvδw .
Intégrale double en coordonnées polaires. Rappelons que si M = (x, y) est
un point du plan différent de l’origine O, les coordonnées polaires de M sont les
nombres r = OM =
x 2 + y 2 et θ =
− − − − →
Ox,
− − − − − − − →
OM . On a donc les formules
x = r cos θ , y = r sin θ , où r > 0 et 0 θ < 2π.
Le changement de variable est ϕ(r,θ) = (r cosθ,r sinθ) et le déterminant de la matrice
jacobienne (page 368) est det J ϕ =
cos θ −r sin θ
sin θ rcos θ
= r(cos θ)
2 + r(sin θ)
2 = r.
Si D est un domaine plan et si Δ est l’ensemble des coordonnées (r, θ) des points
de D, la formule du changement de variables s’écrit
D
f (x, y) dxdy =
Δ
f (r cos θ, r sin θ) r drdθ
Exemple.
z
x
y
h
d
ρ
R
D
Sur la sphère de rayon R centrée à l’origine, découpons la calotte supérieure de hauteur h R. Son plan de
base est à la distance d = R − h de l’origine, le cercle horizontal
inférieur a pour rayon ρ =
√
R 2 − d 2 , donc la calotte est la surface d’équation z =
R 2 − x 2 − y 2 , où x
2 + y
2
ρ
2 . Calculons
l’aire A de cette calotte en utilisant la formule page 400. Les
dérivées partielles de la fonction f (x, y) =
R 2 − x 2 − y 2 sont
∂f
∂x
=
−x
R 2 − x 2 − y 2
,
∂f
∂y
=
−y
R 2 − x 2 − y 2
, donc 1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
=
R
2
R
2 − x
2 − y
2
. En appelant D le
disque du plan xOy défini par x
2 + y
2
ρ
2 , il vient
A =
D
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy = R
D
1
R 2 − x 2 − y 2
dxdy
404 – NOTION D’INT ´
EGRALE MULTIPLE ET M ´
ETHODE DE CALCUL