de G sont (0, 0, Z), où Z = 1
ρv
C
z ρdxdydz. Il vient
vZ =
h
h−a
z πr
2
1 − z
2
h
2
dz = πr
2
h
h−a
z − z
3
h
2
dz
= πr
2
h
2
− (h−a)
2
2
−
h
4
− (h−a)
4
4h
2
= πr
2 h
2
1 − k
2
2
−
1 − k
4
4
d’où l’on tire la valeur de Z . Si a = h = r, notre calotte pleine est la demi-boule supérieure de rayon r centrée à l’origine : le centre de gravité est à la hauteur Z = (3/8)r.
Exemple 2. Considérons une plaque rectangulaire homogène, de longueur 2a, de
largeur 2b et de masse M . Quel est le moment d’inertie de la plaque par rapport à
l’une de ses diagonales ?
y
P
x
2a
2b
R
Prenons l’origine du repère au centre du rectangle et l’axe des
abscisses dans le sens de la longueur. Le domaine R est donc
formé des points (x, y) tels que −a x a et −b y b.
La diagonale de pente positive a pour équation y = (b/a)x, ou
encore bx−ay =0. La distance d’un point P =(x,y) à cette droite
est d(x,y)=
|bx − ay|
√
a 2 + b 2
. La masse surfacique, rapport de la masse à l’aire, est ρ=M/4ab.
Le moment d’inertie de la plaque par rapport à une diagonale est donc par définition
I = ρ
R
d(x, y)
2 dxdy =
M
4ab(a
2 + b
2 )
a
−a
b
−b
(bx−ay)
2 dy
dx
On a
b
−b
(bx−ay)
2 dy=
−1
3a
(bx−ay)
3
b
−b
= 1
3a
(bx+ab)
3
−(bx−ab)
3
= b
3
3a
(x+a)
3
−(x−a)
3
a
−a
(x+a)
3
− (x−a)
3
dx =
(2a)
4
4
+
(2a)
4
4
= 8a
4
d’où I =
M
4ab(a
2 + b
2 )
b
3
3a
8a
4 =
M
4ab(a
2 + b
2 )
8a
3 b
3
3
= 2M
3
a
2 b
2
a
2 + b
2
.
1.2 Changement de variables
Soit D un domaine de l’espace dont les points (x, y, z) sont paramétrés par trois
variables (u, v, w) : précisément, supposons qu’il y a une application ϕ : Δ → D de
la forme (u, v, w) →
x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)
ayant les propriétés suivantes :
® ϕ : Δ → D est une bijection,
® les fonctions x, y et z ont des dérivées partielles continues par rapport à u, v, w,
® en tout point (u, v, w) ∈ Δ, la matrice jacobienne J ϕ est inversible (page 367).
La formule du changement de variable pour l’intégrale ordinaire (page 320) se
généralise aux intégrales multiples, sous la forme :
(∗)
D
f (x, y, z) dxdydz =
Δ
f
ϕ(u, v, w)
det J ϕ
dudvdw
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 403
ρv
C
z ρdxdydz. Il vient
vZ =
h
h−a
z πr
2
1 − z
2
h
2
dz = πr
2
h
h−a
z − z
3
h
2
dz
= πr
2
h
2
− (h−a)
2
2
−
h
4
− (h−a)
4
4h
2
= πr
2 h
2
1 − k
2
2
−
1 − k
4
4
d’où l’on tire la valeur de Z . Si a = h = r, notre calotte pleine est la demi-boule supérieure de rayon r centrée à l’origine : le centre de gravité est à la hauteur Z = (3/8)r.
Exemple 2. Considérons une plaque rectangulaire homogène, de longueur 2a, de
largeur 2b et de masse M . Quel est le moment d’inertie de la plaque par rapport à
l’une de ses diagonales ?
y
P
x
2a
2b
R
Prenons l’origine du repère au centre du rectangle et l’axe des
abscisses dans le sens de la longueur. Le domaine R est donc
formé des points (x, y) tels que −a x a et −b y b.
La diagonale de pente positive a pour équation y = (b/a)x, ou
encore bx−ay =0. La distance d’un point P =(x,y) à cette droite
est d(x,y)=
|bx − ay|
√
a 2 + b 2
. La masse surfacique, rapport de la masse à l’aire, est ρ=M/4ab.
Le moment d’inertie de la plaque par rapport à une diagonale est donc par définition
I = ρ
R
d(x, y)
2 dxdy =
M
4ab(a
2 + b
2 )
a
−a
b
−b
(bx−ay)
2 dy
dx
On a
b
−b
(bx−ay)
2 dy=
−1
3a
(bx−ay)
3
b
−b
= 1
3a
(bx+ab)
3
−(bx−ab)
3
= b
3
3a
(x+a)
3
−(x−a)
3
a
−a
(x+a)
3
− (x−a)
3
dx =
(2a)
4
4
+
(2a)
4
4
= 8a
4
d’où I =
M
4ab(a
2 + b
2 )
b
3
3a
8a
4 =
M
4ab(a
2 + b
2 )
8a
3 b
3
3
= 2M
3
a
2 b
2
a
2 + b
2
.
1.2 Changement de variables
Soit D un domaine de l’espace dont les points (x, y, z) sont paramétrés par trois
variables (u, v, w) : précisément, supposons qu’il y a une application ϕ : Δ → D de
la forme (u, v, w) →
x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)
ayant les propriétés suivantes :
® ϕ : Δ → D est une bijection,
® les fonctions x, y et z ont des dérivées partielles continues par rapport à u, v, w,
® en tout point (u, v, w) ∈ Δ, la matrice jacobienne J ϕ est inversible (page 367).
La formule du changement de variable pour l’intégrale ordinaire (page 320) se
généralise aux intégrales multiples, sous la forme :
(∗)
D
f (x, y, z) dxdydz =
Δ
f
ϕ(u, v, w)
det J ϕ
dudvdw
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 403