un disque D(z) limité par le cercle d’équation x
2 + y
2 = r
2
1 − z
2
h
2
; l’aire du disque
D(z) est s(z) = πr
2
1 − z
2
h
2
et V =
h
−h
D(z)
dxdy
dz, donc
V =
h
−h
s(z) dz = πr
2
h
−h
1− z
2
h
2
dz = πr
2
2h− 2h
3
3h
2
= 4
3
πr
2 h
En particulier, pour h=r, on trouve que le volume d’une boule de rayon r est (4/3)πr
3 .
Centre de gravité, moment d'iner tie
Choisissons un point O de l’espace. Si l’on place en des points A 1 ,. . .,A n des masses
m 1 , . . . , m n , le centre de gravité du système ainsi formé est le point G (indépendant
du choix de l’origine O) défini par
− − − − − →
OG = 1
M
n
i=1
m i
− − − − − − − →
OA i ,
où M =
n
i=1 m i est la masse totale du système. En prenant des axes passant par
O, les points A i ont des coordonnées (x i , y i , z i ) et les coordonnées de G sont
1
M
n
i=1
m i x i ,
n
i=1
m i y i ,
n
i=1
m i z i
On définit de même le centre de gravité d’un solide S : la masse d’un élément de
volume infinitésimal placé en (x, y, z) est dm = ρ(x, y, z) dxdydz, où ρ est la masse
volumique en chaque point du solide.
® La masse totale du solide est M =
S
ρ(x, y, z) dxdydz.
® Les coordonnées du centre de gravité sont
1
M
S
x dm , 1
M
S
y dm , 1
M
S
z dm
Le moment d’inertie du solide par rapport à un axe Δ est
S
(d M )
2 ρ dxdydz, où d M
est la distance du point M = (x, y, z) à la droite Δ et ρ la masse volumique en ce
point. Nous avons aussi défini page 227 la matrice d’inertie relativement à un point.
Exemple 1. Reprenons l’ellipsoïde de l’exemple précédent et considérons une calotte supérieure, pleine, de hauteur a, où 0 < a h. Cette calotte étant située entre
les hauteurs h − a et h, son volume est
v =
h
h−a
πr
2
1 − z
2
h
2
dz = πr
2
a −
h
3
− (h−a)
3
3h
2
= πr
2 h
1 − k −
1 − k
3
3
, où k =
h−a
h
.
Supposons que la calotte (C) est un solide homogène de masse volumique ρ. Le
centre de gravité G de la calotte se trouve sur l’axe de symétrie Oz : les coordonnées
402 – NOTION D’INT ´
EGRALE MULTIPLE ET M ´
ETHODE DE CALCUL