Calculs de volumes
Une interprétation de l'intégrale double. Soit f (x, y) une fonction à valeurs
positives et soit S la surface d’équation z = f (x,y), où (x,y) parcourt un domaine D
du plan. Pour x 0 fixé, les points (x 0 , y, z) situés sous la surface forment une portion
de plan vertical limité par c 0 y d 0 et 0 z f (x 0 , y). L’aire de cette portion de
plan est donc s(x 0 ) =
d 0
c 0
f (x 0 , y) dy.
z
x
b
a
y
S
D
x 0
x 0 + δx
s (x 0)
Épaississons la tranche en considérant les points (x, y, z) situés sous la surface et tels que x 0 x x 0 + δx, où δx est
une « quantité infiniment petite » (voir page 286).
En négligeant les produits de deux infiniment petits, le volume de cette tranche épaisse est le produit s(x 0 ) δx de sa
surface par son épaisseur. En sommant sur x 0 , on obtient le
volume V situé sous la surface.
Le volume compris entre un domaine plan D et la surface d’équation z = f (x,y) est
D
f (x, y) dxdy .
Une interprétation de l'intégrale triple. Soit V un domaine de l’espace compris entre deux surfaces d’équation z = u(x, y) et z = v(x, y), où u(x, y) v(x, y),
les coordonnées x et y parcourant un domaine D du plan. On a ainsi V =
{(x, y, z) | (x, y) ∈ D et u(x, y) z v(x, y)}. Si (x, y) est un point fixé, alors
v(x,y)
u(x,y)
dz = v(x, y) − u(x, y), donc
V
dxdydz =
D
v(x, y)−u(x, y)
dxdy =
D
v(x, y) dxdy −
D
u(x, y)
dxdy
L’intégrale double
D
v(x, y)dxdy est le volume compris entre le plan xOy et la
surface z = v(x, y), l’intégrale double
D
u(x, y) dxdy est celui compris entre le plan
xOy et la surface z = u(x, y), donc le volume de V est
V
dxdydz.
Le volume d’une portion V d’espace est
V
dxdydz.
L’intégrale s’interprète comme la somme des éléments de volume infinitésimaux dxdydz .
Exemple.
z
z
x
r
y
O
h
D
E
(z)
Calculons le volume de l’ellipsoïde (plein) de révolution d’axe Oz, de rayon r dans le plan xOy et de hauteur
2h. Son équation est x
2 + y
2 +
rz
h
2 = r
2 . Notons E l’ellipsoïde. Pour calculer son volume V =
E
dxdydz, intégrons
d’abord par rapport à x et y, c’est-à-dire pour z fixé. À une
hauteur z comprise entre −h et h, la section horizontale est
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 401
Une interprétation de l'intégrale double. Soit f (x, y) une fonction à valeurs
positives et soit S la surface d’équation z = f (x,y), où (x,y) parcourt un domaine D
du plan. Pour x 0 fixé, les points (x 0 , y, z) situés sous la surface forment une portion
de plan vertical limité par c 0 y d 0 et 0 z f (x 0 , y). L’aire de cette portion de
plan est donc s(x 0 ) =
d 0
c 0
f (x 0 , y) dy.
z
x
b
a
y
S
D
x 0
x 0 + δx
s (x 0)
Épaississons la tranche en considérant les points (x, y, z) situés sous la surface et tels que x 0 x x 0 + δx, où δx est
une « quantité infiniment petite » (voir page 286).
En négligeant les produits de deux infiniment petits, le volume de cette tranche épaisse est le produit s(x 0 ) δx de sa
surface par son épaisseur. En sommant sur x 0 , on obtient le
volume V situé sous la surface.
Le volume compris entre un domaine plan D et la surface d’équation z = f (x,y) est
D
f (x, y) dxdy .
Une interprétation de l'intégrale triple. Soit V un domaine de l’espace compris entre deux surfaces d’équation z = u(x, y) et z = v(x, y), où u(x, y) v(x, y),
les coordonnées x et y parcourant un domaine D du plan. On a ainsi V =
{(x, y, z) | (x, y) ∈ D et u(x, y) z v(x, y)}. Si (x, y) est un point fixé, alors
v(x,y)
u(x,y)
dz = v(x, y) − u(x, y), donc
V
dxdydz =
D
v(x, y)−u(x, y)
dxdy =
D
v(x, y) dxdy −
D
u(x, y)
dxdy
L’intégrale double
D
v(x, y)dxdy est le volume compris entre le plan xOy et la
surface z = v(x, y), l’intégrale double
D
u(x, y) dxdy est celui compris entre le plan
xOy et la surface z = u(x, y), donc le volume de V est
V
dxdydz.
Le volume d’une portion V d’espace est
V
dxdydz.
L’intégrale s’interprète comme la somme des éléments de volume infinitésimaux dxdydz .
Exemple.
z
z
x
r
y
O
h
D
E
(z)
Calculons le volume de l’ellipsoïde (plein) de révolution d’axe Oz, de rayon r dans le plan xOy et de hauteur
2h. Son équation est x
2 + y
2 +
rz
h
2 = r
2 . Notons E l’ellipsoïde. Pour calculer son volume V =
E
dxdydz, intégrons
d’abord par rapport à x et y, c’est-à-dire pour z fixé. À une
hauteur z comprise entre −h et h, la section horizontale est
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 401