En ne gardant que les infiniments petits de l’ordre de δx et δy, on a
− − − →
MP =
δx , 0 , f(x+δx, y)−f (x, y)
=
δx , 0 ,
∂f
∂x
δx
− − − →
MQ =
0 , δy , f(x, y+δy)−f (x, y)
=
0 , δy ,
∂f
∂y
δy
− − − →
MP ∧
− − − →
MQ =
−
∂f
∂x
δxδy , −
∂f
∂y
δxδy , δxδy
et pour l’élément d’aire sur la surface, il vient l’approximation
δs =
− − − →
MP ∧
− − − →
MQ = |δxδy|
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
En sommant tous ces éléments d’aire, on obtient la formule
aire de S =
D
1 +
∂f
∂x
(x, y)
2
+
∂f
∂y
(x, y)
2
dxdy
Cas d'une surface paramétrée. Supposons plus généralement que la surface
S est l’ensemble des points
M (u, v) =
x(u, v), y(u, v), z(u, v)
où u et v sont des paramètres réels, les fonctions x(u, v), y(u, v), z(u, v) ayant des
dérivées continues.
® Les vecteurs
− − →
∂M
∂u
=
∂x
∂u
,
∂y
∂u
, ∂z
∂u
et
− − →
∂M
∂v
=
∂x
∂v
,
∂y
∂v
, ∂z
∂v
sont tangents à S .
® Si en chaque point M ∈ S , ces vecteurs sont linéairement indépendants, on dit
que S est régulière, ce qu’on suppose désormais.
Les vecteurs
− − − − − −
→
∂M
∂u
(u, v),
− − − − − −
→
∂M
∂v
(u, v) forment une base du plan tangent à S en M (u, v).
® Le produit vectoriel
− − →
H =
− − →
∂M
∂u
∧
− − →
∂M
∂v
est un vecteur non nul et orthogonal à S . Le vecteur
− − →
N (u,v)=
1
→
H (u, v)
− − →
H (u,v) s’appelle le vecteur normal unitaire au point M (u,v).
® L’expression da =
− − →
H (u, v) dudv s’appelle l’élément d’aire de la surface.
C’est l’aire du parallélogramme tangent à S au point M (u,v) et de cotés les « vecteurs
tangents infiniment petits »
− − →
∂M
∂u
du,
− − →
∂M
∂v
dv.
® L’aire de S est
S
da=
Δ
− − →
H (u, v) dudv, où Δ est le domaine parcouru par (u,v).
Une surface d’équation z = f (x, y) est naturellement paramétrée en posant x = u, y = v,
z = f (u, v). On a alors
− − →
∂M
∂u
=
1, 0,
∂f
∂u
,
− − →
∂M
∂v
=
0, 1,
∂f
∂v
,
→
H =
−
∂f
∂u
, −
∂f
∂v
, 1
et l’on retrouve la formule donnée précédemment pour l’aire.
400 – NOTION D’INT ´
EGRALE MULTIPLE ET M ´
ETHODE DE CALCUL