b) Si f et g sont définies sur un même domaine D, l’intégrale de f + g sur D est
la somme des intégrales de f et de g sur D.
c) L’intégrale de f sur la réunion de deux domaines disjoints est la somme des
intégrales de f sur ces domaines.
d) Si R est le rectangle a x b, c y d, alors pour un produit d’une fonction
de x par une fonction de y, on a
R
u(x)v(y) dxdy =
b
a
u(x) dx
d
c
v(y) dy
.
1.1 Aires et volumes
Calcul d'une aire plane
Soit D un domaine plan limité par des courbes, par exemple constitué des points (x,y)
tel que axb et u(x)y v(x). Pour x fixé entre a et b, on a
v(x)
u(x)
dy =v(x)−u(x),
donc
D
dxdy =
b
a
v(x)−u(x)
dx =
b
a
v(x) dx −
b
a
u(x) dx.
y = u(x)
y = v(x)
D
[u] 1
[u] 2
a
bx
y
aire= [v]−[u] 1 +[u] 2
L’intégrale
b
a
u(x) dx est l’aire algébrique comprise entre l’axe
des abscisses et la courbe d’équation y = u(x) : sur la figure,
c’est la quantité [u] 1 −[u] 2 , où le crochet désigne l’aire absolue.
De même, l’intégrale de v est l’aire [v] sous cette courbe, donc la
différence
b
a
v(x) dx−
b
a
u(x) dx=[v]−[u] 1 +[u] 2 est l’aire de D.
L’aire d’un domaine plan D est
D
dxdy.
Cette intégrale double s’interprète comme la somme des éléments d’aire infinitésimaux dxdy.
Calcul d'une aire dans l'espace
Soit S la surface d’équation z = f (x, y) définie sur un domaine D du plan xOy.
S
z
x
y
D
O
M
R
P
Q
M
P
Q
m
δs
− − − →
MP ∧
− − − →
MQ
δs
Soient m =(x,y) un point intérieur à D et M =
x,y,f (x,y)
le point de S qui se projette
en m. Donnons-nous de petits accroissements δx,
δy, posons x
= x + δx, y
= y + δy et considérons les points de la surface : P =
x
,y,f(x
,y)
,
Q =
x, y
, f(x, y
)
et R =
x
, y
, f(x
, y
)
. Supposons que f possède des dérivées partielles
continues, donc S a un plan tangent en tout
point. Si δx et δy sont très petits, l’aire δs du
morceau de surface compris entre M, P, Q, R est
proche de l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs
− − − →
MP ,
− − − →
MQ (c’est ainsi que
nous avons déjà raisonné pour calculer la longueur d’une courbe paramétrée, page 312).
L’aire du parallélogramme est la norme du produit vectoriel
− − − →
MP ∧
− − − →
MQ (page 225).
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 399
la somme des intégrales de f et de g sur D.
c) L’intégrale de f sur la réunion de deux domaines disjoints est la somme des
intégrales de f sur ces domaines.
d) Si R est le rectangle a x b, c y d, alors pour un produit d’une fonction
de x par une fonction de y, on a
R
u(x)v(y) dxdy =
b
a
u(x) dx
d
c
v(y) dy
.
1.1 Aires et volumes
Calcul d'une aire plane
Soit D un domaine plan limité par des courbes, par exemple constitué des points (x,y)
tel que axb et u(x)y v(x). Pour x fixé entre a et b, on a
v(x)
u(x)
dy =v(x)−u(x),
donc
D
dxdy =
b
a
v(x)−u(x)
dx =
b
a
v(x) dx −
b
a
u(x) dx.
y = u(x)
y = v(x)
D
[u] 1
[u] 2
a
bx
y
aire= [v]−[u] 1 +[u] 2
L’intégrale
b
a
u(x) dx est l’aire algébrique comprise entre l’axe
des abscisses et la courbe d’équation y = u(x) : sur la figure,
c’est la quantité [u] 1 −[u] 2 , où le crochet désigne l’aire absolue.
De même, l’intégrale de v est l’aire [v] sous cette courbe, donc la
différence
b
a
v(x) dx−
b
a
u(x) dx=[v]−[u] 1 +[u] 2 est l’aire de D.
L’aire d’un domaine plan D est
D
dxdy.
Cette intégrale double s’interprète comme la somme des éléments d’aire infinitésimaux dxdy.
Calcul d'une aire dans l'espace
Soit S la surface d’équation z = f (x, y) définie sur un domaine D du plan xOy.
S
z
x
y
D
O
M
R
P
Q
M
P
Q
m
δs
− − − →
MP ∧
− − − →
MQ
δs
Soient m =(x,y) un point intérieur à D et M =
x,y,f (x,y)
le point de S qui se projette
en m. Donnons-nous de petits accroissements δx,
δy, posons x
= x + δx, y
= y + δy et considérons les points de la surface : P =
x
,y,f(x
,y)
,
Q =
x, y
, f(x, y
)
et R =
x
, y
, f(x
, y
)
. Supposons que f possède des dérivées partielles
continues, donc S a un plan tangent en tout
point. Si δx et δy sont très petits, l’aire δs du
morceau de surface compris entre M, P, Q, R est
proche de l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs
− − − →
MP ,
− − − →
MQ (c’est ainsi que
nous avons déjà raisonné pour calculer la longueur d’une courbe paramétrée, page 312).
L’aire du parallélogramme est la norme du produit vectoriel
− − − →
MP ∧
− − − →
MQ (page 225).
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 399