autrement dit on peut pratiquer la double intégration dans l’ordre qu’on veut. La
quantité ainsi obtenue s’appelle l’intégrale double de f sur le rectangle R={(x,y)|a
x b, c y d} et se note
R
f (x, y) dxdy.
b
a
u(x)
v(x)
x
y
d
c
a(y)
b(y)
Plus généralement, considérons un domaine D du plan, borné et limité par des
courbes, comme sur les figures ci-contre :
® pour x fixé, y varie entre u(x) et v(x)
® pour y fixé, x varie entre a(y) et b(y).
Alors les deux ordres d’intégration possibles conduisent
encore au même résultat : si a et b sont les bornes
extrêmes en x et si c et d sont les bornes extrêmes en
y, on a l’égalité
b
a
v(x)
u(x)
f (x, y) dy
dx =
d
c
b(y)
a(y)
f (x, y) dx
dy
Définition
La quantité ci-dessus s’appelle l’intégrale double de la fonction f sur le domaine
D et se note
D
f (x, y) dxdy.
Une intégrale double se calcule par deux intégrations successives, dans l’ordre qu’on veut.
Exemple.
r
x
O
y
r
y
√
r 2 − x 2
=
D
Calculons l’intégrale double I =
D
xy dxdy, où D est formé des points
à coordonnées positives dans le disque de rayon r centré à l’origine. On a donc
D = {(x, y) | x > 0, y > 0, et x
2 + y
2
r
2
}. Pour x fixé entre 0 et r, la coordonnée
y varie entre 0 et
√
r 2 − x 2 , donc
I =
r
0
√
r 2 −x 2
0
xy dy
dx
On a
J x =
√
r 2 −x 2
0
xy dy = x
√
r 2 −x 2
0
y dy = x
y
2
2
√
r 2 −x 2
0
= x
r
2
− x
2
2
I =
r
0
J x dx = 1
2
r
0
x(r
2
−x
2 ) dx = r
2
2
r
0
x dx − 1
2
r
0
x
3 dx = r
4
4
− r
4
8
= r
4
8
.
Si f (x, y, z) est une fonction de trois variables définie sur un domaine V de l’espace
limité par des surfaces, on définit de même l’intégrale triple
V
f (x, y, z) dxdydz :
on la calcule en intégrant successivement par rapport à chaque variable, dans l’ordre
qu’on veut.
Propriétés des intégrales multiples
a) Si f est à valeurs positives ou nulles, son intégrale est positive ou nulle.
398 – NOTION D’INT ´
EGRALE MULTIPLE ET M ´
ETHODE DE CALCUL