Chapitre 13
Intégrales multiples
1. Notion d'intégrale multiple et méthode de calcul
Dans ce chapitre, les coordonnées cartésiennes x, y, z des points de l’espace ou du
plan sont prises dans un repère orthonormé.
Soit f (x, y) une fonction continue de deux variables définie sur un rectangle
a x b , c y d. En prenant une primitive en x, puis en y, on obtient une
fonction F telle que ∂
∂y
∂F
∂x
= f . Pour x fixé, si l’on intègre f (x, y) par rapport
à y entre c et d, on obtient une quantité
I(x) =
d
c
f (x, y) dy =
d
c
∂
∂y
∂F
∂x
(x, y) dy = ∂F
∂x
(x, d) − ∂F
∂x
(x, c)
Intégrons maintenant I(x) entre a et b :
(1)
b
a
I(x) dx=
b
a
∂F
∂x
(x, d) dx−
b
a
∂F
∂x
(x, c) dx=F (b,d)−F (a,d)−
F (b,c)−F (a,c)
Intervertissons l’ordre des intégrations. Puisque f = ∂
2 F
∂x∂y
d’après le théorème de
Schwarz, l’intégrale en x de a à b est
J(y) =
b
a
f (x, y) dx =
b
a
∂
∂x
∂F
∂y
(x, y) dx = ∂F
∂y
(b, y) − ∂F
∂y
(a, y) ,
et il vient
(2)
d
c
J(y) dy=
d
c
∂F
∂y
(b, y) dy−
d
c
∂F
∂y
(a, y) dy=F (b,d)−F (b,c)−
F (a,d)−F (a,c)
Les nombres en (1) et (2) sont égaux. C’est donc que l’on a
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy ,
Chapitre 13 – INT ´
EGRALES MULTIPLES – 397