vecteurs propres de S sont deux à deux orthogonaux : voir page 217) ; déterminer
enfin, pour chaque vecteur propre V , les deux nombres ±t tel que g(tV ) = k et
calculer les coordonnées (x, y, z) des sommets de l’ellipsoïde.
12
@ . Partie principale d'une quantité implicite. Supposons que des quantités x et y voisines
de 0 sont reliées par la relation f (x, y) = y
4
− 2x
3 y
2
− 4x
5 y + x
6
− x
7 = 0.
a) Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0) et montrer que le théorème des
fonctions implicites ne s’applique pas en ce point.
b) Pour x donné voisin de 0, l’équation f (x,y)=0 peut avoir plusieurs solutions y(x).
Pour trouver le comportement de ces solutions au voisinage de l’origine, cherchons
une approximation y(x) = ax
α , où α = 0. Calculer g(x) = f (x, ax
α ) et montrer
que dans g(x), les puissances de x ont pour exposant 4α, 2α + 3, α + 5, 6 et 7.
c) On cherche a et α pour que la plus petite puissance de x disparaisse. Il faut pour
cela que le minimum ν des exposants soit obtenu au moins dans deux termes
différents et qu’après regroupement, le coefficient de x
ν soit nul. En dessinant les
graphes de 4α, 2α + 3, α + 5, 6 et 7 en fonction de α (ce sont des droites), montrer
qu’on doit prendre α = 3/2. Vérifier qu’on a alors g(x) = x
6
(a
2
−1)
2
− 4ax
1/2
− x
et qu’il faut donc choisir a = ±1.
d)
x
O
y
0,01
0,02
0,04
(C)
Dessiner le graphe de la fonction y = x
3/2 au voisinage de l’origine. La figure
ci-contre montre la courbe (C) d’équation f (x,y) = 0 pour
|x| 0,05 : expliquez pourquoi ce dessin est compatible
avec le résultat obtenu en (c) et pourquoi la courbe n’est
pas représentée par le graphe d’une fonction de x.
e) Pour distinguer les deux branches de la courbe quand x est petit, cherchons une
meilleure approximation sous la forme y(x) = x
3/2 (1+bx
β ). En posant t
2 = x, montrer que f
x, y(x)
= t
12 h(t), avec h(t) = 4b
2 t
4β + 4b
3 t
6β + b
4 t
8β
− 4t − 4bt
1+2β
− t
2 .
Justifier comme précédemment que l’on a β = 1/4 et b = ±1. En déduire que
les branches de la courbe sont approchées au voisinage de l’origine par les fonctions y 1 (x) = x
3/2 + x
7/4 et y 2 (x) = x
3/2
− x
7/4 . Ces expressions s’appellent les
développements de Puiseux de f au voisinage de l’origine.
On peut chercher un développement de Puiseux en un point où le théorème des
fonctions implicites ne s’applique pas, c’est-à-dire où les deux dérivées partielles de
la fonction sont nulles.
396 – EXERCICES
enfin, pour chaque vecteur propre V , les deux nombres ±t tel que g(tV ) = k et
calculer les coordonnées (x, y, z) des sommets de l’ellipsoïde.
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@ . Partie principale d'une quantité implicite. Supposons que des quantités x et y voisines
de 0 sont reliées par la relation f (x, y) = y
4
− 2x
3 y
2
− 4x
5 y + x
6
− x
7 = 0.
a) Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0) et montrer que le théorème des
fonctions implicites ne s’applique pas en ce point.
b) Pour x donné voisin de 0, l’équation f (x,y)=0 peut avoir plusieurs solutions y(x).
Pour trouver le comportement de ces solutions au voisinage de l’origine, cherchons
une approximation y(x) = ax
α , où α = 0. Calculer g(x) = f (x, ax
α ) et montrer
que dans g(x), les puissances de x ont pour exposant 4α, 2α + 3, α + 5, 6 et 7.
c) On cherche a et α pour que la plus petite puissance de x disparaisse. Il faut pour
cela que le minimum ν des exposants soit obtenu au moins dans deux termes
différents et qu’après regroupement, le coefficient de x
ν soit nul. En dessinant les
graphes de 4α, 2α + 3, α + 5, 6 et 7 en fonction de α (ce sont des droites), montrer
qu’on doit prendre α = 3/2. Vérifier qu’on a alors g(x) = x
6
(a
2
−1)
2
− 4ax
1/2
− x
et qu’il faut donc choisir a = ±1.
d)
x
O
y
0,01
0,02
0,04
(C)
Dessiner le graphe de la fonction y = x
3/2 au voisinage de l’origine. La figure
ci-contre montre la courbe (C) d’équation f (x,y) = 0 pour
|x| 0,05 : expliquez pourquoi ce dessin est compatible
avec le résultat obtenu en (c) et pourquoi la courbe n’est
pas représentée par le graphe d’une fonction de x.
e) Pour distinguer les deux branches de la courbe quand x est petit, cherchons une
meilleure approximation sous la forme y(x) = x
3/2 (1+bx
β ). En posant t
2 = x, montrer que f
x, y(x)
= t
12 h(t), avec h(t) = 4b
2 t
4β + 4b
3 t
6β + b
4 t
8β
− 4t − 4bt
1+2β
− t
2 .
Justifier comme précédemment que l’on a β = 1/4 et b = ±1. En déduire que
les branches de la courbe sont approchées au voisinage de l’origine par les fonctions y 1 (x) = x
3/2 + x
7/4 et y 2 (x) = x
3/2
− x
7/4 . Ces expressions s’appellent les
développements de Puiseux de f au voisinage de l’origine.
On peut chercher un développement de Puiseux en un point où le théorème des
fonctions implicites ne s’applique pas, c’est-à-dire où les deux dérivées partielles de
la fonction sont nulles.
396 – EXERCICES