le déplacement latéral à l’instant t du point de hauteur z et en laissant la chaîne
osciller librement, l’équation du mouvement est
(1)
ρ ∂
2 x
∂t
2
− ∂
∂z
ρgz ∂x
∂z
= 0
a) Par le changement de variable y = 2
z/g, montrer que cette équation devient
∂
2 x
∂t
2
−
∂
2 x
∂y
2
+ 1
y
∂x
∂y
= 0
b) Cherchons une solution de la forme x = u(y) cos ωt. Montrer que la fonction u
doit satisfaire l’équation différentielle u
+ 1
y
u
+ ω
2 u = 0.
c) En utilisant l’exercice 8, montrer que pour tout nombre a, la fonction
x(z, t) = aJ 0
2ω
z/g
cos ωt est solution de (1). Décrire le mouvement de
l’extrémité libre : que représente a ?
d) En exprimant que le point A est fixe, montrer que l’on a J 0
2ω
/g
= 0. En
déduire que les pulsations ω possibles sont données par ω i = (1/2)α i
g//, où
α 1 < α 2 < · · · sont les solutions positives de l’équation J 0 (x) = 0 (voir page 577).
e) Notons x i (z,t) la solution correspondant à ω=ω i . Montrer que dans ce mouvement,
les points d’ordonnées z j = (α j /α i )
2 , où j = 1, 2, . . . , i−1, sont immobiles.
Si l’on se donne le profil de la chaîne à l’instant initial, le mouvement est une
superposition de mouvements x i (z, t).
11
@ . Étude géométrique d'un ellipsoïde. On considère l’ellipsoïde E d’équation f (x,y,z) = k,
où f (x, y, z) = x
2 + 5y
2 + 6z
2
− 4xy − 8yz + 2xz − 2x + 8z + 6, k étant un nombre
strictement positif.
a) Calculer les dérivées partielles de f et trouver le point critique de f . Le centre
de E est le point C où f atteint son minimum : en déduire que C = (2, 0, −1).
b) On prend C comme nouvelle origine pour les coordonnées.
(i) Montrer que l’équation de E dans les nouvelles coordonnées X, Y, Z est
g(X, Y, Z) = k, avec g(X, Y, Z) = f (X+2, Y, Z−1).
(ii) Vérifier que les extrémités des axes de l’ellipsoïde sont les points M de E où
la distance MC présente un maximum local (exercice 3 du chapitre 7). Posons
w(X, Y, Z) = X
2 + Y
2 + Z
2 = MC
2 . En déduire qu’en ces points, les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad g (M ) et
− − − − − − − − − →
Grad w (M ) sont colinéaires. Calculer ces deux vecteurs gradients en
un point M quelconque de coordonnées (X, Y, Z).
(iii) Chercher les extrémités en procédant comme dans l’exemple 3 page 219 : écrire
la matrice symétrique S telle que g(X, Y, Z) = [X Y Z] S
X
Y
Z
et calculer son
polynôme caractéristique ; montrer que les valeurs propres sont à peu près 10,012,
0,051 et 1,935 et en déduire des vecteurs propres approchés (rappelons que les
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 395
osciller librement, l’équation du mouvement est
(1)
ρ ∂
2 x
∂t
2
− ∂
∂z
ρgz ∂x
∂z
= 0
a) Par le changement de variable y = 2
z/g, montrer que cette équation devient
∂
2 x
∂t
2
−
∂
2 x
∂y
2
+ 1
y
∂x
∂y
= 0
b) Cherchons une solution de la forme x = u(y) cos ωt. Montrer que la fonction u
doit satisfaire l’équation différentielle u
+ 1
y
u
+ ω
2 u = 0.
c) En utilisant l’exercice 8, montrer que pour tout nombre a, la fonction
x(z, t) = aJ 0
2ω
z/g
cos ωt est solution de (1). Décrire le mouvement de
l’extrémité libre : que représente a ?
d) En exprimant que le point A est fixe, montrer que l’on a J 0
2ω
/g
= 0. En
déduire que les pulsations ω possibles sont données par ω i = (1/2)α i
g//, où
α 1 < α 2 < · · · sont les solutions positives de l’équation J 0 (x) = 0 (voir page 577).
e) Notons x i (z,t) la solution correspondant à ω=ω i . Montrer que dans ce mouvement,
les points d’ordonnées z j = (α j /α i )
2 , où j = 1, 2, . . . , i−1, sont immobiles.
Si l’on se donne le profil de la chaîne à l’instant initial, le mouvement est une
superposition de mouvements x i (z, t).
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@ . Étude géométrique d'un ellipsoïde. On considère l’ellipsoïde E d’équation f (x,y,z) = k,
où f (x, y, z) = x
2 + 5y
2 + 6z
2
− 4xy − 8yz + 2xz − 2x + 8z + 6, k étant un nombre
strictement positif.
a) Calculer les dérivées partielles de f et trouver le point critique de f . Le centre
de E est le point C où f atteint son minimum : en déduire que C = (2, 0, −1).
b) On prend C comme nouvelle origine pour les coordonnées.
(i) Montrer que l’équation de E dans les nouvelles coordonnées X, Y, Z est
g(X, Y, Z) = k, avec g(X, Y, Z) = f (X+2, Y, Z−1).
(ii) Vérifier que les extrémités des axes de l’ellipsoïde sont les points M de E où
la distance MC présente un maximum local (exercice 3 du chapitre 7). Posons
w(X, Y, Z) = X
2 + Y
2 + Z
2 = MC
2 . En déduire qu’en ces points, les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad g (M ) et
− − − − − − − − − →
Grad w (M ) sont colinéaires. Calculer ces deux vecteurs gradients en
un point M quelconque de coordonnées (X, Y, Z).
(iii) Chercher les extrémités en procédant comme dans l’exemple 3 page 219 : écrire
la matrice symétrique S telle que g(X, Y, Z) = [X Y Z] S
X
Y
Z
et calculer son
polynôme caractéristique ; montrer que les valeurs propres sont à peu près 10,012,
0,051 et 1,935 et en déduire des vecteurs propres approchés (rappelons que les
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