c) Dans la question précédente, on a obtenu un paramétrage de la courbe de la forme
x(t) = 2u(t), y(t) = 2tu(t), où u(t) = (1 + t
2 + t
3 )
−1/3 . En étudiant les variations de
d(t) = x(t)
2 + y(t)
2 au voisinage de t = t 1 , montrer que cette fonction y présente
effectivement un minimum ; en déduire que la distance de l’origine à (C) est la
distance OA. Montrer aussi qu’au point (2,0), la distance d(M ) a un minimum local.
d) Faire dessiner la courbe (C) par un ordinateur.
8
@ . Fonction de Bessel. La fonction de Bessel d’indice 0 est J 0 (x) = 1
π
π
0
cos(x sin θ) dθ.
a) Montrer que J 0 est une fonction paire. Calculer J 0 (0) et J
0 (0).
b) Exprimer J
0 (x) et J
0 (x) au moyen d’une intégrale et montrer que J
0 (x) + J 0 (x) =
1
π
π
0
(cos θ)
2 cos(x sin θ) dθ.
c) En faisant une intégration par parties dans l’expression de J
0 (x), montrer que J 0
satisfait l’équation différentielle (b 0 ) : y
+ 1
x
y
+ y = 0 (équation de Bessel).
d) Vérifier au moyen d’un ordinateur que le graphe de J 0 a l’allure ci-dessous :
x
y
9
@ . Harmoniques cylindriques. En coordonnées cylindriques, les fonctions harmoniques
sont les solutions de l’équation
∂
2 f
∂z
2
+
∂
2 f
∂r
2
+ 1
r
∂f
∂r
+ 1
r
2
∂
2 f
∂θ
2
= 0 (page 372).
Une fonction dont les valeurs présentent une symétrie de révolution par rapport à
l’axe Oz s’écrit f (r, z) et, dans ce cas, l’équation devient
∂
2 f
∂z
2
+
∂
2 f
∂r
2
+ 1
r
∂f
∂r
= 0.
Cherchons une solution de la forme f (r, z) = e
kz u(r).
a) Montrer que la fonction f est harmonique à la condition que u soit solution de
l’équation différentielle u
+ 1
r
u
+ k
2 u = 0.
b) En utilisant l’exercice 8, montrer que pour toute constante k, les fonctions
e
±k z J 0 (kr) sont harmoniques.
10.
x
O
z
A
Petites oscillations d'une chaîne pesante. Considérons une chaîne pesante
homogène de longueur suspendue à son extrémité supérieure A ;
on note O la position d’équilibre de l’extrémité libre, on choisit un
axe vertical Oz dirigé vers le haut et l’on repère le petit déplacement
latéral d’un point de la chaîne sur un axe horizontal Ox. Les coordonnées de A sont donc x = 0, z = . Si ρ est la densité linéaire de la
chaîne, la tension en un point d’ordonnée z est ρgz ; en notant x(z, t)
394 – EXERCICES
x(t) = 2u(t), y(t) = 2tu(t), où u(t) = (1 + t
2 + t
3 )
−1/3 . En étudiant les variations de
d(t) = x(t)
2 + y(t)
2 au voisinage de t = t 1 , montrer que cette fonction y présente
effectivement un minimum ; en déduire que la distance de l’origine à (C) est la
distance OA. Montrer aussi qu’au point (2,0), la distance d(M ) a un minimum local.
d) Faire dessiner la courbe (C) par un ordinateur.
8
@ . Fonction de Bessel. La fonction de Bessel d’indice 0 est J 0 (x) = 1
π
π
0
cos(x sin θ) dθ.
a) Montrer que J 0 est une fonction paire. Calculer J 0 (0) et J
0 (0).
b) Exprimer J
0 (x) et J
0 (x) au moyen d’une intégrale et montrer que J
0 (x) + J 0 (x) =
1
π
π
0
(cos θ)
2 cos(x sin θ) dθ.
c) En faisant une intégration par parties dans l’expression de J
0 (x), montrer que J 0
satisfait l’équation différentielle (b 0 ) : y
+ 1
x
y
+ y = 0 (équation de Bessel).
d) Vérifier au moyen d’un ordinateur que le graphe de J 0 a l’allure ci-dessous :
x
y
9
@ . Harmoniques cylindriques. En coordonnées cylindriques, les fonctions harmoniques
sont les solutions de l’équation
∂
2 f
∂z
2
+
∂
2 f
∂r
2
+ 1
r
∂f
∂r
+ 1
r
2
∂
2 f
∂θ
2
= 0 (page 372).
Une fonction dont les valeurs présentent une symétrie de révolution par rapport à
l’axe Oz s’écrit f (r, z) et, dans ce cas, l’équation devient
∂
2 f
∂z
2
+
∂
2 f
∂r
2
+ 1
r
∂f
∂r
= 0.
Cherchons une solution de la forme f (r, z) = e
kz u(r).
a) Montrer que la fonction f est harmonique à la condition que u soit solution de
l’équation différentielle u
+ 1
r
u
+ k
2 u = 0.
b) En utilisant l’exercice 8, montrer que pour toute constante k, les fonctions
e
±k z J 0 (kr) sont harmoniques.
10.
x
O
z
A
Petites oscillations d'une chaîne pesante. Considérons une chaîne pesante
homogène de longueur suspendue à son extrémité supérieure A ;
on note O la position d’équilibre de l’extrémité libre, on choisit un
axe vertical Oz dirigé vers le haut et l’on repère le petit déplacement
latéral d’un point de la chaîne sur un axe horizontal Ox. Les coordonnées de A sont donc x = 0, z = . Si ρ est la densité linéaire de la
chaîne, la tension en un point d’ordonnée z est ρgz ; en notant x(z, t)
394 – EXERCICES