4. Une stratégie de production. Supposons que la fonction de production d’une entreprise
est de la forme q = aT
α K
β , où T est la quantité de travail, K le capital mobilisé
pour la production et α, β des nombres positifs tels que α + β = 1, a étant un
coefficient normatif fixe. On note w le salaire versé par unité de travail, r le taux
de rémunération d’un capital immobilisé et f le montant des frais de gestion. Le
coût de production est donc c = wT + rK + f .
L’entreprise assure une production Q donnée et veut minimiser son coût : comment
doit-elle répartir quantité de travail et capital mobilisé ?
a) Calculer les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad q (T, K) et
− − − − − − − − − →
Grad c (T, K). Montrer que le minimum de
c lorsque q(T, K) = Q est obtenu lorsque T /K = αr/βw.
b) En déduire que les valeurs cherchées sont K = (Q/a)(βw/αr)
α et T =
(Q/a)(αr/βw)
β .
5. Une fonction f (x, y) peut avoir une dérivée partielle
∂f
∂y
identiquement nulle et
dépendre néanmoins de y. Par exemple, définissons la fonction sur le domaine
D = R
2
\ {(x, 0) | x 0} en posant f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
x
2
si x 0 et y > 0
−x
2 si x 0 et y < 0
0
si x < 0
.
a) Montrer que
∂f
∂x
(a, b) vaut 0 si a < 0, 2a si a et b sont strictement positifs, et −2a
dans le cas a > 0, b < 0. Montrer que si b = 0,
f (h, b)−f (0, b)
h
tend vers 0 quand
h tend vers 0 (avec un signe quelconque) : en déduire que l’on a
∂f
∂x
(0, b) = 0 et
que la fonction
∂f
∂x
est continue en tout point de D.
b) Montrer que
∂f
∂y
=0 en tout point de D, mais que les valeurs f (1,y) dépendent de y.
6
@ . Quelle est l’équation de la tangente à la courbe d’équation x(x
2 + y
2 ) + y
3 = 8 au
point (0, 2) ? Comment varie y quand x parcourt un petit intervalle autour de 0 ?
7
@ . On s’intéresse à la distance de l’origine à la courbe (C) d’équation x(x
2 +y
2 )+y
3 =8.
Posons f (x, y) = x(x
2 + y
2 ) + y
3
− 8.
a) Soit M un point de (C) où la distance d(M ) à l’origine présente un extremum
local. Montrer qu’il en va de même du carré de la distance à l’origine et que les
coordonnées de M vérifient les équations f (x, y) = 0 et y[x
2 + y
2
− 3xy] = 0.
b) Pour tout point M = (x, y) sur la courbe et tel que M = (0, 2), on pose y = tx.
Montrer que si d(M ) a un extremum local, alors t est l’un des trois nombres 0,
t 1 = (1/2)(3 +
√
5) ou t 2 = (1/2)(3−
√
5). Pour tout point de la courbe, calculer x et
y au moyen de t. En déduire, par comparaison de trois distances, que le minimum
de d(M ) ne peut être obtenu qu’au point A =
2(1+t
2
1 +t
3
1 )
−1/3 , 2t 1 (1+t
2
1 +t
3
1 )
−1/3
.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 393
est de la forme q = aT
α K
β , où T est la quantité de travail, K le capital mobilisé
pour la production et α, β des nombres positifs tels que α + β = 1, a étant un
coefficient normatif fixe. On note w le salaire versé par unité de travail, r le taux
de rémunération d’un capital immobilisé et f le montant des frais de gestion. Le
coût de production est donc c = wT + rK + f .
L’entreprise assure une production Q donnée et veut minimiser son coût : comment
doit-elle répartir quantité de travail et capital mobilisé ?
a) Calculer les vecteurs
− − − − − − − − − →
Grad q (T, K) et
− − − − − − − − − →
Grad c (T, K). Montrer que le minimum de
c lorsque q(T, K) = Q est obtenu lorsque T /K = αr/βw.
b) En déduire que les valeurs cherchées sont K = (Q/a)(βw/αr)
α et T =
(Q/a)(αr/βw)
β .
5. Une fonction f (x, y) peut avoir une dérivée partielle
∂f
∂y
identiquement nulle et
dépendre néanmoins de y. Par exemple, définissons la fonction sur le domaine
D = R
2
\ {(x, 0) | x 0} en posant f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
x
2
si x 0 et y > 0
−x
2 si x 0 et y < 0
0
si x < 0
.
a) Montrer que
∂f
∂x
(a, b) vaut 0 si a < 0, 2a si a et b sont strictement positifs, et −2a
dans le cas a > 0, b < 0. Montrer que si b = 0,
f (h, b)−f (0, b)
h
tend vers 0 quand
h tend vers 0 (avec un signe quelconque) : en déduire que l’on a
∂f
∂x
(0, b) = 0 et
que la fonction
∂f
∂x
est continue en tout point de D.
b) Montrer que
∂f
∂y
=0 en tout point de D, mais que les valeurs f (1,y) dépendent de y.
6
@ . Quelle est l’équation de la tangente à la courbe d’équation x(x
2 + y
2 ) + y
3 = 8 au
point (0, 2) ? Comment varie y quand x parcourt un petit intervalle autour de 0 ?
7
@ . On s’intéresse à la distance de l’origine à la courbe (C) d’équation x(x
2 +y
2 )+y
3 =8.
Posons f (x, y) = x(x
2 + y
2 ) + y
3
− 8.
a) Soit M un point de (C) où la distance d(M ) à l’origine présente un extremum
local. Montrer qu’il en va de même du carré de la distance à l’origine et que les
coordonnées de M vérifient les équations f (x, y) = 0 et y[x
2 + y
2
− 3xy] = 0.
b) Pour tout point M = (x, y) sur la courbe et tel que M = (0, 2), on pose y = tx.
Montrer que si d(M ) a un extremum local, alors t est l’un des trois nombres 0,
t 1 = (1/2)(3 +
√
5) ou t 2 = (1/2)(3−
√
5). Pour tout point de la courbe, calculer x et
y au moyen de t. En déduire, par comparaison de trois distances, que le minimum
de d(M ) ne peut être obtenu qu’au point A =
2(1+t
2
1 +t
3
1 )
−1/3 , 2t 1 (1+t
2
1 +t
3
1 )
−1/3
.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 393