figure 1, les coordonnées sont x, y ; dans la figure 2, les coordonnées sont u, v.
x
y
0,1
0 ,2
0 ,3
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
figure 1
u
v
0,1
0 ,2
0 ,3
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
figure 2
L’étude générale d’une telle itération linéaire est expliquée dans l’exemple 2 page
187 : comparer la figure 2 ci-dessus à celles qui y sont présentées.
Exercices
1
@ . Une recherche d'extremum. Cherchons le maximum de la fonction f (x, y) = x
3
− 3xy
2
dans le disque unité D = { (x, y) ∈ R
2
| x
2 + y
2
1 }.
a) Trouver les points critiques de f . Y a-t-il extremum local en ces points ?
b) Montrer que le maximum M et le minimum m de f sur D sont atteints en des
points du cercle x
2 + y
2 = 1. Étudier la fonction g(t) = f (cos t, sin t) pour trouver
ces points et les valeurs M et m.
c) Montrer que la fonction f est harmonique.
2. En utilisant l’expression du laplacien en coordonnées polaires (page 372), vérifier que
si k est un entier quelconque, les fonctions r
k cos kθ et r
k sin kθ sont harmoniques.
3
@ . Calcul d'une fonction d'offre. Supposons que le coût de production à court terme d’une
entreprise est c(q, a) = q
3
− q
2 + (5−4a)q + 2a
2 , où q mesure le niveau de production
et a l’impact des charges fixes.
a) Le coût à long terme d’une production q est la valeur minimum de c(q,a) par rapport à a. En calculant ∂c
∂a
, montrer que le coût à long terme est cl(q) = q
3
−3q
2 +5q.
b) Soit p le prix de vente unitaire du bien fabriqué. Le profit d’une production q
est donc Π = pq − cl(q). Montrer que le profit positif maximum s’obtient pour
q = 1 +
(p−2)/3 (vérifier que pour cette valeur, on a bien ∂
2 Π
∂q
2
0).
c) Le coût à long terme d’une unité de production est cl(q)/q. Pour quelle valeur de q
ce coût est-il minimum ? Montrer que le minimum vaut 2,75. En déduire que l’entreprise peut adopter le plan de production suivant : q=
0
si p 2,75
1 +
(p−2)/3 si p 2,75
.
Dessiner la courbe qui représente la variation de q en fonction de p lorsque p est
entre 0 et 14.
392 – EXERCICES
x
y
0,1
0 ,2
0 ,3
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
figure 1
u
v
0,1
0 ,2
0 ,3
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
figure 2
L’étude générale d’une telle itération linéaire est expliquée dans l’exemple 2 page
187 : comparer la figure 2 ci-dessus à celles qui y sont présentées.
Exercices
1
@ . Une recherche d'extremum. Cherchons le maximum de la fonction f (x, y) = x
3
− 3xy
2
dans le disque unité D = { (x, y) ∈ R
2
| x
2 + y
2
1 }.
a) Trouver les points critiques de f . Y a-t-il extremum local en ces points ?
b) Montrer que le maximum M et le minimum m de f sur D sont atteints en des
points du cercle x
2 + y
2 = 1. Étudier la fonction g(t) = f (cos t, sin t) pour trouver
ces points et les valeurs M et m.
c) Montrer que la fonction f est harmonique.
2. En utilisant l’expression du laplacien en coordonnées polaires (page 372), vérifier que
si k est un entier quelconque, les fonctions r
k cos kθ et r
k sin kθ sont harmoniques.
3
@ . Calcul d'une fonction d'offre. Supposons que le coût de production à court terme d’une
entreprise est c(q, a) = q
3
− q
2 + (5−4a)q + 2a
2 , où q mesure le niveau de production
et a l’impact des charges fixes.
a) Le coût à long terme d’une production q est la valeur minimum de c(q,a) par rapport à a. En calculant ∂c
∂a
, montrer que le coût à long terme est cl(q) = q
3
−3q
2 +5q.
b) Soit p le prix de vente unitaire du bien fabriqué. Le profit d’une production q
est donc Π = pq − cl(q). Montrer que le profit positif maximum s’obtient pour
q = 1 +
(p−2)/3 (vérifier que pour cette valeur, on a bien ∂
2 Π
∂q
2
0).
c) Le coût à long terme d’une unité de production est cl(q)/q. Pour quelle valeur de q
ce coût est-il minimum ? Montrer que le minimum vaut 2,75. En déduire que l’entreprise peut adopter le plan de production suivant : q=
0
si p 2,75
1 +
(p−2)/3 si p 2,75
.
Dessiner la courbe qui représente la variation de q en fonction de p lorsque p est
entre 0 et 14.
392 – EXERCICES