Les deux autres égalités déterminent u 11 et u 02 à condition que λ = λμ et μ = μ
2 .
Les termes en x
3 dans u
sont les suivants :
dans R 3 :
r 30 x
3
;
dans U 2 :
u 20 (2λx r 20 x
2 )
;
dans U 3 :
u 30 λ
3 x
3
On doit donc avoir l’égalité r 30 + 2r 20 u 20 λ + u 30 λ
3 = λu 30 . Puisque u 20 est connu, cela
détermine u 30 si λ = λ
3 .
Dans l’équation qui exprime l’égalité des termes en x
2 y dans u
et λu, tous les termes
sont connus, sauf u 21 qui apparaît avec le coefficient λ
2 μ dans u
et avec le coefficient
λ dans λu ; on peut donc en tirer la valeur de u 21 pourvu que λ = λ
2 μ. Les conditions
pour trouver les coefficients de v sont analogues, mais les rôles de λ et μ sont échangés.
Nous n’avons pas vérifié que l’application ϕ:(x,y) →(u,v) est bien un changement de coordonnées au voisinage de l’origine, c’est-à-dire ici une bijection dérivable dont la bijection
réciproque est dérivable : c’est une conséquence du théorème des fonctions implicites.
En continuant ainsi par degré, on peut calculer de proche en proche les coefficients
de u et de v qui annulent les termes de degré inférieur ou égal à N : la condition
est qu’il n’existe entre les valeurs propres aucune relation de la forme
λ = λ
i μ
j ou μ = λ
i μ
j , avec i 0, j 0 et i + j 2
On dit que ce sont les conditions de « non résonance ». En particulier, λ et μ doivent
être non nuls, différents de ±1 et l’on doit avoir λμ = 1 (sinon λ = λ
2 μ).
En négligeant les termes de degré supérieurs à N , on obtient dans les nouvelles
coordonnées les formules u
= λu , v
= μv.
Si les conditions de non résonance sont vérifiées, il est même possible par cette méthode
de trouver, au voisinage de l’origine, un changement de coordonnées qui supprime tous
les termes de degré supérieur à 1, mais le changement de coordonnées n’est plus polynomial : dans ces nouvelles coordonnées, la transformation s’exprime alors exactement
par les formules linéaires u
= λu, v
= μv.
Exemple. Prenons la transformation F (x,y)=
2x+x
2
−xy+y
3 ,(1/3)y+2xy−y
2 +x
2 y
.
La matrice jacobienne à l’origine est J F =
2 0
0 1/3
. On voit facilement que les valeurs propres 2 et 1/3 satisfont aux conditions de non résonance. Le changement de
coordonnées polynomial qui supprime les termes de degré inférieurs ou égaux à 3
est donné par
u(x, y) = x − (1/2)x
2
− (3/4)xy + (1/3)x
3
− (15/8)x
2 y + (63/64)xy
2 + (27/53)y
3
v(x, y) = y − 6xy − (9/2)y
2 + 25x
2 y + 72xy
2 + (81/8)y
3
et l’on a G(u, v) = (2u, v/3)+termes de degré au moins 4. Noter que, dans le changement de coordonnées, on ne peut pas trouver de formule explicite pour exprimer x
et y au moyen de u, v.
Pour visualiser la transformation, nous avons représenté les itérés de quelques points
proches de l’origine en reliant leurs positions successives par un segment ; dans la
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 391
2 .
Les termes en x
3 dans u
sont les suivants :
dans R 3 :
r 30 x
3
;
dans U 2 :
u 20 (2λx r 20 x
2 )
;
dans U 3 :
u 30 λ
3 x
3
On doit donc avoir l’égalité r 30 + 2r 20 u 20 λ + u 30 λ
3 = λu 30 . Puisque u 20 est connu, cela
détermine u 30 si λ = λ
3 .
Dans l’équation qui exprime l’égalité des termes en x
2 y dans u
et λu, tous les termes
sont connus, sauf u 21 qui apparaît avec le coefficient λ
2 μ dans u
et avec le coefficient
λ dans λu ; on peut donc en tirer la valeur de u 21 pourvu que λ = λ
2 μ. Les conditions
pour trouver les coefficients de v sont analogues, mais les rôles de λ et μ sont échangés.
Nous n’avons pas vérifié que l’application ϕ:(x,y) →(u,v) est bien un changement de coordonnées au voisinage de l’origine, c’est-à-dire ici une bijection dérivable dont la bijection
réciproque est dérivable : c’est une conséquence du théorème des fonctions implicites.
En continuant ainsi par degré, on peut calculer de proche en proche les coefficients
de u et de v qui annulent les termes de degré inférieur ou égal à N : la condition
est qu’il n’existe entre les valeurs propres aucune relation de la forme
λ = λ
i μ
j ou μ = λ
i μ
j , avec i 0, j 0 et i + j 2
On dit que ce sont les conditions de « non résonance ». En particulier, λ et μ doivent
être non nuls, différents de ±1 et l’on doit avoir λμ = 1 (sinon λ = λ
2 μ).
En négligeant les termes de degré supérieurs à N , on obtient dans les nouvelles
coordonnées les formules u
= λu , v
= μv.
Si les conditions de non résonance sont vérifiées, il est même possible par cette méthode
de trouver, au voisinage de l’origine, un changement de coordonnées qui supprime tous
les termes de degré supérieur à 1, mais le changement de coordonnées n’est plus polynomial : dans ces nouvelles coordonnées, la transformation s’exprime alors exactement
par les formules linéaires u
= λu, v
= μv.
Exemple. Prenons la transformation F (x,y)=
2x+x
2
−xy+y
3 ,(1/3)y+2xy−y
2 +x
2 y
.
La matrice jacobienne à l’origine est J F =
2 0
0 1/3
. On voit facilement que les valeurs propres 2 et 1/3 satisfont aux conditions de non résonance. Le changement de
coordonnées polynomial qui supprime les termes de degré inférieurs ou égaux à 3
est donné par
u(x, y) = x − (1/2)x
2
− (3/4)xy + (1/3)x
3
− (15/8)x
2 y + (63/64)xy
2 + (27/53)y
3
v(x, y) = y − 6xy − (9/2)y
2 + 25x
2 y + 72xy
2 + (81/8)y
3
et l’on a G(u, v) = (2u, v/3)+termes de degré au moins 4. Noter que, dans le changement de coordonnées, on ne peut pas trouver de formule explicite pour exprimer x
et y au moyen de u, v.
Pour visualiser la transformation, nous avons représenté les itérés de quelques points
proches de l’origine en reliant leurs positions successives par un segment ; dans la
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 391