Changement linéaire de coordonnées. Prenons une transformation X
=F (X)
dérivable telle que F (0,0) = (0,0) et supposons que la matrice jacobienne A = J F (0,0)
a deux valeurs propres réelles λ et μ distinctes. Faisons comme ci-dessus le changement de coordonnées X = P U , où P est la matrice des vecteurs propres de A.
Dans les nouvelles coordonnées, la transformation s’écrit U
= G(U ), où
G(U ) = U
= P
−1 X
= P
−1 F (X) = P
−1 F (P U)
Soit p : R
2
→ R
2 l’application linéaire bijective définie par p(U ) = P U . La matrice de
la bijection réciproque p
−1 est P
−1 , donc G(U ) = (p
−1
◦ F ◦ p)(U ). Si P =
α β
γ δ
,
alors pour tout U = (u, v), on a p(U ) = (αu + βv, γu + δv) et la matrice jacobienne
de p est J p = P . Puisque p
−1 a pour matrice P
−1 , on a de même J p −1 = P
−1 . La
matrice jacobienne d’une composée étant le produit des matrices jacobiennes (page
367), il vient J G (0, 0) = J p −1 AJ p = P
−1 AP = diag(λ, μ), autrement dit
J G (0, 0) =
λ 0
0 μ
R
2
p
−1
F / / R
2
p
−1
R
2
G
/ / R
2
X _
p
−1
F / / X
_
p
−1
U
G
/ / U
Par le changement de coordonnées U = P
−1 X , on obtient une transformation
G dont la matrice jacobienne au point fixe est diagonale.
Changement non linéaire de coordonnées. Reprenons la transformation X
=
F (X) et faisons un changement de coordonnées U = ϕ(X) bijectif, où X = (x, y) et
U =
u(x, y), v(x, y)
. Supposons que :
i) ϕ(0, 0) = (0, 0),
ii) ϕ et ϕ
−1 ont des dérivées partielles continues,
iii) J ϕ (0, 0) =
1 0
0 1
= I 2 .
La dernière propriété signifie qu’au voisinage de l’origine, on a u(x,y)=x+o
(x,y)
et v(x, y) = y+o
(x, y)
.
Puisque la composée ϕ
−1
◦ ϕ est l’identité, on a J ϕ −1 (0, 0)J ϕ (0, 0) = I 2 , ou encore
J ϕ −1 (0, 0) = I 2 .
Dans les coordonnées (u, v), la transformation s’exprime par des formules U
= G(U )
telles que U
= ϕ(X
) = (ϕ◦F )(X) = (ϕ◦F )
ϕ
−1 (U )
, donc G = ϕ◦F ◦ϕ
−1 . Comme précédemment, on en déduit que la matrice jacobienne de G en (0,0) est J G = J ϕ J F J ϕ −1 =
I 2 J F I 2 = J F .
Ce changement de coordonnées ne modifie donc pas la matrice jacobienne en (0, 0).
En particulier, les valeurs propres et les vecteurs propres sont inchangés.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 389
=F (X)
dérivable telle que F (0,0) = (0,0) et supposons que la matrice jacobienne A = J F (0,0)
a deux valeurs propres réelles λ et μ distinctes. Faisons comme ci-dessus le changement de coordonnées X = P U , où P est la matrice des vecteurs propres de A.
Dans les nouvelles coordonnées, la transformation s’écrit U
= G(U ), où
G(U ) = U
= P
−1 X
= P
−1 F (X) = P
−1 F (P U)
Soit p : R
2
→ R
2 l’application linéaire bijective définie par p(U ) = P U . La matrice de
la bijection réciproque p
−1 est P
−1 , donc G(U ) = (p
−1
◦ F ◦ p)(U ). Si P =
α β
γ δ
,
alors pour tout U = (u, v), on a p(U ) = (αu + βv, γu + δv) et la matrice jacobienne
de p est J p = P . Puisque p
−1 a pour matrice P
−1 , on a de même J p −1 = P
−1 . La
matrice jacobienne d’une composée étant le produit des matrices jacobiennes (page
367), il vient J G (0, 0) = J p −1 AJ p = P
−1 AP = diag(λ, μ), autrement dit
J G (0, 0) =
λ 0
0 μ
R
2
p
−1
F / / R
2
p
−1
R
2
G
/ / R
2
X _
p
−1
F / / X
_
p
−1
U
G
/ / U
Par le changement de coordonnées U = P
−1 X , on obtient une transformation
G dont la matrice jacobienne au point fixe est diagonale.
Changement non linéaire de coordonnées. Reprenons la transformation X
=
F (X) et faisons un changement de coordonnées U = ϕ(X) bijectif, où X = (x, y) et
U =
u(x, y), v(x, y)
. Supposons que :
i) ϕ(0, 0) = (0, 0),
ii) ϕ et ϕ
−1 ont des dérivées partielles continues,
iii) J ϕ (0, 0) =
1 0
0 1
= I 2 .
La dernière propriété signifie qu’au voisinage de l’origine, on a u(x,y)=x+o
(x,y)
et v(x, y) = y+o
(x, y)
.
Puisque la composée ϕ
−1
◦ ϕ est l’identité, on a J ϕ −1 (0, 0)J ϕ (0, 0) = I 2 , ou encore
J ϕ −1 (0, 0) = I 2 .
Dans les coordonnées (u, v), la transformation s’exprime par des formules U
= G(U )
telles que U
= ϕ(X
) = (ϕ◦F )(X) = (ϕ◦F )
ϕ
−1 (U )
, donc G = ϕ◦F ◦ϕ
−1 . Comme précédemment, on en déduit que la matrice jacobienne de G en (0,0) est J G = J ϕ J F J ϕ −1 =
I 2 J F I 2 = J F .
Ce changement de coordonnées ne modifie donc pas la matrice jacobienne en (0, 0).
En particulier, les valeurs propres et les vecteurs propres sont inchangés.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 389