On a q
2
−rp < 0 et p est positif, donc la fonction J atteint bien son minimum pour ces
valeurs de a et b. Voici le graphe de la fonction q(t) ainsi déterminée (on a pris m=1).
t
1
1
t → q(t)
Sur la courbe, la partie décroissante qui intervient après environ une heure de
traitement correspond à une phase d’élimination par l’organisme.
Énonçons pour finir les conditions qui permettent de dériver sous le signe intégrale
généralisé.
Dérivation sous le signe intégrale généralisé. Supposons que les fonctions f
et
∂f
∂x
sont continues et que l’intégrale généralisée
+∞
a
f (t, x) dt existe. S’il y a une
fonction g(t) telle que
∂f
∂x
(t, x)
g(t) pour tout t et tout x, et si l’intégrale généralisée
+∞
a
g(t) dt existe, alors on a d
dx
+∞
a
f (t, x) dt
=
+∞
a
∂f
∂x
(t, x) dt.
7. Linéarisation locale d'une transformation
Le problème. Considérons une transformation F de R
2 , c’est-à-dire une fonction
F : (x, y) → F (x, y) de deux variables, où F (x, y) =
u(x, y), v(x, y)
est dans R
2 .
Supposons que cette transformation a un point fixe X 0 , autrement dit F (X 0 ) = X 0 .
On voudrait comprendre comment sont transformés les points voisins de X 0 .
Pour simplifier, nous supposons que X 0 = (0,0) (on se ramène à ce cas en considérant
la transformation X → F (X+X 0 )−F (X 0 ) ).
Notre objectif est de trouver de nouvelles coordonnées dans lesquelles la transformation s’exprime plus simplement. Commençons par le cas où F est linéaire.
Cas d'une transformation linéaire. La transformation s’écrit F (X) = AX , où
A est une matrice carrée de taille 2. Rappelons comment faire un bon changement
linéaire de coordonnées (pages 186-188).
Supposons par exemple que la matrice A a deux valeurs propres réelles λ et μ
distinctes. La matrice P des vecteurs propres étant inversible, nous pouvons faire le
changement de coordonnées X = P U . Dans les nouvelles coordonnées U = (u, v),
la transformation X
= AX s’écrit U
= P
−1 X
= P
−1 AX = P
−1 AP U = DU , où D
est la matrice diagonale diag(λ, μ). Les formules de transformation deviennent donc
simplement u
= λu , v
= μv.
388 – LIN ´
EARISATION LOCALE D’UNE TRANSFORMATION
2
−rp < 0 et p est positif, donc la fonction J atteint bien son minimum pour ces
valeurs de a et b. Voici le graphe de la fonction q(t) ainsi déterminée (on a pris m=1).
t
1
1
t → q(t)
Sur la courbe, la partie décroissante qui intervient après environ une heure de
traitement correspond à une phase d’élimination par l’organisme.
Énonçons pour finir les conditions qui permettent de dériver sous le signe intégrale
généralisé.
Dérivation sous le signe intégrale généralisé. Supposons que les fonctions f
et
∂f
∂x
sont continues et que l’intégrale généralisée
+∞
a
f (t, x) dt existe. S’il y a une
fonction g(t) telle que
∂f
∂x
(t, x)
g(t) pour tout t et tout x, et si l’intégrale généralisée
+∞
a
g(t) dt existe, alors on a d
dx
+∞
a
f (t, x) dt
=
+∞
a
∂f
∂x
(t, x) dt.
7. Linéarisation locale d'une transformation
Le problème. Considérons une transformation F de R
2 , c’est-à-dire une fonction
F : (x, y) → F (x, y) de deux variables, où F (x, y) =
u(x, y), v(x, y)
est dans R
2 .
Supposons que cette transformation a un point fixe X 0 , autrement dit F (X 0 ) = X 0 .
On voudrait comprendre comment sont transformés les points voisins de X 0 .
Pour simplifier, nous supposons que X 0 = (0,0) (on se ramène à ce cas en considérant
la transformation X → F (X+X 0 )−F (X 0 ) ).
Notre objectif est de trouver de nouvelles coordonnées dans lesquelles la transformation s’exprime plus simplement. Commençons par le cas où F est linéaire.
Cas d'une transformation linéaire. La transformation s’écrit F (X) = AX , où
A est une matrice carrée de taille 2. Rappelons comment faire un bon changement
linéaire de coordonnées (pages 186-188).
Supposons par exemple que la matrice A a deux valeurs propres réelles λ et μ
distinctes. La matrice P des vecteurs propres étant inversible, nous pouvons faire le
changement de coordonnées X = P U . Dans les nouvelles coordonnées U = (u, v),
la transformation X
= AX s’écrit U
= P
−1 X
= P
−1 AX = P
−1 AP U = DU , où D
est la matrice diagonale diag(λ, μ). Les formules de transformation deviennent donc
simplement u
= λu , v
= μv.
388 – LIN ´
EARISATION LOCALE D’UNE TRANSFORMATION