D’après les propriétés de l’intégrale, on a
b
a
ϕ(t, h) dt
b
a
ϕ(t, h)
dt |b−a|m(h), où m(h) = max
t∈[a,b]
ϕ(t, h)
La propriété énoncée ci-dessus affirme que lim
h→0
m(h) = 0. Quand h tend vers 0, h
b
a
ϕ(t, h) dt
est donc négligeable devant h. Par définition de la dérivée, cela veut dire que
b
a
∂f
∂x
(t, x 0 ) dt
est la dérivée de F en x 0 .
Exemple d'optimisation en biométrie. Environ un quart d’heure après la pose
d’une perfusion, la quantité d’une substance thérapeutique présente dans l’organisme
varie en fonction du temps (compté en heures) selon la loi q(t)=ae
−0,2 t
−be
−1,8 t , où a
et b sont des paramètres dépendant des quantités initiales et sur lesquels on peut agir.
L’efficacité maximale est obtenue lorsque la quantité de produit reste assez longtemps
voisine d’une valeur optimale m. On mesure donc l’action sur une période de temps
T par la fonction de contrôle J =
T
0
q(t) − m
2 dt.
Le problème : trouver a et b pour que J soit minimal.
Calculons les dérivées partielles de J par rapport à a et à b en dérivant sous le
signe intégrale. On a
∂
∂a
q − m
2
= 2
q(t) − m
∂q
∂a
= 2
q(t) − m
e
−0,2 t
∂J
∂a
=
T
0
∂
∂a
q(t) − m
2
dt = 2
T
0
(ae
−0,4 t
− be
−2t
− me
−0,2 t ) dt
= 5(1 − e
−0,4 T )a − (1 − e
−2T )b + 10(e
−0,2T
− m)
De même,
∂J
∂b
=
T
0
∂
∂b
q(t) − m
2
dt = 2
T
0
(−ae
−2t + be
−3,6 t + me
−1,8 t ) dt
= −(1 − e
−2T )a + 5
9
(1 − e
−3,6 T )b − 10
9
(e
−1,8 T
− m)
Pour que J soit minimum, il faut que ces deux dérivées partielles soient nulles.
Supposons qu’on veuille exercer le contrôle sur cinq heures. On doit alors résoudre
le système linéaire suivant aux inconnues a et b :
5(1 − e
−2 )a − (1 − e
−10 )b = 10(1 − e
−1 )m
−9(1 − e
−10 )a + 5(1 − e
−18 )b = −10(1 − e
−9 )m
La solution est environ a =1,71m et b =1,08m. Calculons les dérivées secondes de J :
p = ∂
2 J
∂a
2
= 5(1−e
−2 ) , q = ∂
2 J
∂a∂b
= −(1−e
−10 )5(1−e
−2 ) , r = ∂
2 J
∂b
2
= 5
9
(1−e
−18 )
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 387