Le demi-variogramme. Avec la notation Z (x) = Z(x) − m, on a Z(x) − Z(+h) =
Z (x)− Z (x+h) ; en développant le carré et en prenant l’espérance, on obtient d’après (1
)
E
Z(x) − Z(x + h)
2
= E
Z(x)
2
+ E
Z(x + h)
2
− 2E
Z(x)Z(x + h)
= 2C(0) − 2C(h) .
On définit le demi-variogramme en posant
γ(h) = 1
2
E
Z(x) − Z(x + h)
2
= C(0) − C(h), pour tout h = 0.
On a C(−h) = C(h) et donc γ(−h) = γ(h).
En Géologie, la fonction γ permet de quantifier la notion de zone d’influence d’un
échantillon : la covariance C(h) diminue quand h augmente, donc γ(h) est fonction croissante de h : son taux de croissance mesure la diminution d’influence d’un
échantillon de terrain sur des zones de plus en plus éloignées.
γ(h)
C(0)
γ 0
h
a
un demi-variogramme
expérimental
Quand h est assez grand, il n’y a plus d’influence
entre les points x et x + h de sorte que la covariance C(h) est presque nulle : on a γ(h) C(0)
pour h suffisamment grand. Le demi-variogramme
expérimental présente ainsi un palier horizontal à partir d’une valeur h = a appelée portée.
Quand h tend vers 0, on constate souvent expérimentalement que γ(h) tend vers une valeur γ 0 strictement
positive, et non pas vers 0 comme pourrait le laisser
croire la définition théorique. En réalité, la décroissance de γ(h) est très rapide quand h
est de l’ordre du diamètre moyen des grains du minéral considéré : à l’échelle des distances entre les sondages effectués, on observe une discontinuité en h=0 (effet « pépite »).
Les équations du krigeage
Pour 0 i, j n, posons γ ij = 1
2
E
Z(x i ) − Z(x j )
2
= C(0) − c ij .
On a
n
j=1
γ kj λ j =
n
j=1
C(0)λ j −
n
j=1
c kj λ j = C(0) −
n
j=1
c kj λ j , car
n
j=1
λ j = 1
= C(0) − c 0k − μ = γ 0k − μ , d’après (3)
Finalement, en posant
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 11 γ 12 · · · γ 1n 1
γ 21 γ 22 · · · γ 2n 1
. . .
. . .
γ n1 γ n2 · · · γ nn 1
1 1 · · · 1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, Λ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
λ 1
λ 2
. . .
λ n
μ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
et B =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 01
γ 02
. . .
γ 0n
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
les coefficients λ 1 , . . . , λ n s’obtiennent en résolvant le système linéaire
(5)
AΛ = B
384 – EXTREMUM SOUS CONTRAINTES
Z (x)− Z (x+h) ; en développant le carré et en prenant l’espérance, on obtient d’après (1
)
E
Z(x) − Z(x + h)
2
= E
Z(x)
2
+ E
Z(x + h)
2
− 2E
Z(x)Z(x + h)
= 2C(0) − 2C(h) .
On définit le demi-variogramme en posant
γ(h) = 1
2
E
Z(x) − Z(x + h)
2
= C(0) − C(h), pour tout h = 0.
On a C(−h) = C(h) et donc γ(−h) = γ(h).
En Géologie, la fonction γ permet de quantifier la notion de zone d’influence d’un
échantillon : la covariance C(h) diminue quand h augmente, donc γ(h) est fonction croissante de h : son taux de croissance mesure la diminution d’influence d’un
échantillon de terrain sur des zones de plus en plus éloignées.
γ(h)
C(0)
γ 0
h
a
un demi-variogramme
expérimental
Quand h est assez grand, il n’y a plus d’influence
entre les points x et x + h de sorte que la covariance C(h) est presque nulle : on a γ(h) C(0)
pour h suffisamment grand. Le demi-variogramme
expérimental présente ainsi un palier horizontal à partir d’une valeur h = a appelée portée.
Quand h tend vers 0, on constate souvent expérimentalement que γ(h) tend vers une valeur γ 0 strictement
positive, et non pas vers 0 comme pourrait le laisser
croire la définition théorique. En réalité, la décroissance de γ(h) est très rapide quand h
est de l’ordre du diamètre moyen des grains du minéral considéré : à l’échelle des distances entre les sondages effectués, on observe une discontinuité en h=0 (effet « pépite »).
Les équations du krigeage
Pour 0 i, j n, posons γ ij = 1
2
E
Z(x i ) − Z(x j )
2
= C(0) − c ij .
On a
n
j=1
γ kj λ j =
n
j=1
C(0)λ j −
n
j=1
c kj λ j = C(0) −
n
j=1
c kj λ j , car
n
j=1
λ j = 1
= C(0) − c 0k − μ = γ 0k − μ , d’après (3)
Finalement, en posant
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 11 γ 12 · · · γ 1n 1
γ 21 γ 22 · · · γ 2n 1
. . .
. . .
γ n1 γ n2 · · · γ nn 1
1 1 · · · 1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, Λ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
λ 1
λ 2
. . .
λ n
μ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
et B =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 01
γ 02
. . .
γ 0n
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
les coefficients λ 1 , . . . , λ n s’obtiennent en résolvant le système linéaire
(5)
AΛ = B
384 – EXTREMUM SOUS CONTRAINTES