Si l’on prend pour x 0 l’un des points x p de {x 1 , . . . , x n }, la solution Z
∗ est Z(x p ) :
l’estimation est donc sans biais. Il reste à déterminer les coefficients du système.
Évaluation des coefficients de la matrice. Supposons que U est une variable
aléatoire et que (u 1 , u 2 , . . . , u N ) est une réalisation de U , c’est-à-dire les résultats
de N expériences. Si N est assez grand, la moyenne 1
N
N
i=1 u i , appelée moyenne
observée, est une estimation statistique de l’espérance de U .
Dans notre cas, on ne dispose en général en chaque point x k que d’une réalisation
z(x k ) (résultat de l’analyse du prélèvement en x k ). Mais considérons pour h donné,
tous les couples de points x p , x q choisis parmi x 1 , . . . , x n et tels que x q − x p = h.
Toutes les variables
Z(x p ) − Z(x q )
2 ont la même espérance 2γ(h), donc s’il y
a N (h) couples de points, on a 2γ(h) = 1
N (h)
x q −x p =h E
Z(x p ) − Z(x q )
2
. En
prenant comme seules réalisations les z(x p ) et si N (h) est assez grand, on pourra
néanmoins adopter la moyenne des
z(x q ) − z(x p )
2 comme valeur de 2γ(h).
C’est ainsi que l’on évalue les nombres γ ij . Soient x i et x j deux des points x 1 ,x 2 ,. . .,x n
et soit h = x j − x i . Faisons la demi-moyenne des nombres
z(x p ) − z(x q )
2 , où les
points x p et x q sont pris parmi x 1 , . . . , x n et vérifient x q − x p = h, autrement dit,
adoptons la valeur empirique
γ ij =
1
2N (h)
x q −x p =h
z(x q ) − z(x p )
2
avec h = x j − x i , la sommation se faisant sur les N (h) couples (x p , x q ) tels que
x q −x p = h.
Le demi-variogramme γ(h) est alors connu pour les valeurs h = x j −x i , où 1 i,j n.
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
Par exemple, si les points x 1 , . . . , x n sont alignés et régulièrement espacés (échantillonnage dans une veine de minerai), alors
γ 12 = γ 23 = · · · = γ n−1 n =
1
2(n−1)
n−1
p=1
z(x p+1 ) − z(x p )
2 .
Pour que la somme contienne un nombre suffisant de termes, on se donne en général
une tolérance ε sur la valeur de h ; ainsi lorsque h est une distance, on fait intervenir,
dans le calcul de la moyenne, les points tels que h − ε x q − x p h + ε.
Évaluation des coefficients du second membre. Puisqu’on cherche une estimation de Z(x) en un point x 0 différent de x 1 , . . . , x n , les nombres γ 0k ne font en
général pas partie des valeurs γ(h) précédemment déterminées. On effectue donc une
interpolation à partir des points connus du demi-variogramme, par exemple au moyen
d’une fonction spline (page 350). Cela fournit une formule analytique pour la fonction
γ(h), valable pour tout h, et pour γ 0k , on prend comme valeur γ 0k = γ(x 0 −x k ).
En Géologie, on utilise souvent des formules adaptées à chaque type de demi-variogramme
et dont l’efficacité est confirmée par l’expérience : cette interpolation constitue la partie
délicate de la méthode.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 385
∗ est Z(x p ) :
l’estimation est donc sans biais. Il reste à déterminer les coefficients du système.
Évaluation des coefficients de la matrice. Supposons que U est une variable
aléatoire et que (u 1 , u 2 , . . . , u N ) est une réalisation de U , c’est-à-dire les résultats
de N expériences. Si N est assez grand, la moyenne 1
N
N
i=1 u i , appelée moyenne
observée, est une estimation statistique de l’espérance de U .
Dans notre cas, on ne dispose en général en chaque point x k que d’une réalisation
z(x k ) (résultat de l’analyse du prélèvement en x k ). Mais considérons pour h donné,
tous les couples de points x p , x q choisis parmi x 1 , . . . , x n et tels que x q − x p = h.
Toutes les variables
Z(x p ) − Z(x q )
2 ont la même espérance 2γ(h), donc s’il y
a N (h) couples de points, on a 2γ(h) = 1
N (h)
x q −x p =h E
Z(x p ) − Z(x q )
2
. En
prenant comme seules réalisations les z(x p ) et si N (h) est assez grand, on pourra
néanmoins adopter la moyenne des
z(x q ) − z(x p )
2 comme valeur de 2γ(h).
C’est ainsi que l’on évalue les nombres γ ij . Soient x i et x j deux des points x 1 ,x 2 ,. . .,x n
et soit h = x j − x i . Faisons la demi-moyenne des nombres
z(x p ) − z(x q )
2 , où les
points x p et x q sont pris parmi x 1 , . . . , x n et vérifient x q − x p = h, autrement dit,
adoptons la valeur empirique
γ ij =
1
2N (h)
x q −x p =h
z(x q ) − z(x p )
2
avec h = x j − x i , la sommation se faisant sur les N (h) couples (x p , x q ) tels que
x q −x p = h.
Le demi-variogramme γ(h) est alors connu pour les valeurs h = x j −x i , où 1 i,j n.
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
Par exemple, si les points x 1 , . . . , x n sont alignés et régulièrement espacés (échantillonnage dans une veine de minerai), alors
γ 12 = γ 23 = · · · = γ n−1 n =
1
2(n−1)
n−1
p=1
z(x p+1 ) − z(x p )
2 .
Pour que la somme contienne un nombre suffisant de termes, on se donne en général
une tolérance ε sur la valeur de h ; ainsi lorsque h est une distance, on fait intervenir,
dans le calcul de la moyenne, les points tels que h − ε x q − x p h + ε.
Évaluation des coefficients du second membre. Puisqu’on cherche une estimation de Z(x) en un point x 0 différent de x 1 , . . . , x n , les nombres γ 0k ne font en
général pas partie des valeurs γ(h) précédemment déterminées. On effectue donc une
interpolation à partir des points connus du demi-variogramme, par exemple au moyen
d’une fonction spline (page 350). Cela fournit une formule analytique pour la fonction
γ(h), valable pour tout h, et pour γ 0k , on prend comme valeur γ 0k = γ(x 0 −x k ).
En Géologie, on utilise souvent des formules adaptées à chaque type de demi-variogramme
et dont l’efficacité est confirmée par l’expérience : cette interpolation constitue la partie
délicate de la méthode.
Chapitre 12 – FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES – 385